Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй — за 12 дней, а третий — за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того,…

Сначала давайте найдем, сколько каждый экскаватор выкапывает в день.

1. Первый экскаватор может выкопать котлован за 8 дней, значит, он выкапывает \( \frac{1}{8} \) котлована за день.
2. Второй экскаватор выкопает котлован за 12 дней, значит, он выкапывает \( \frac{1}{12} \) котлована за день.
3. Третий экскаватор может выкопать котлован за 15 дней, значит, он выкапывает \( \frac{1}{15} \) котлована за день.

Теперь посмотрим, сколько каждый экскаватор выкапает за указанные дни:

• Первый экскаватор работает 3 дня: \[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

• Второй экскаватор работает 5 дней: \[ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \]

• Третий экскаватор работает 2 дня: \[ 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \]

Теперь сложим все части, которые вырыли экскаваторы: \[ \text{Общая часть} = \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15} \]

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 8, 12 и 15 равно 120. Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

• Для \( \frac{3}{8} \): \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{45}{120} \]

• Для \( \frac{5}{12} \): \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 10}{12 \cdot 10} = \frac{50}{120} \]

• Для \( \frac{2}{15} \): \[ \frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{16}{120} \]

Теперь складываем все дроби: \[ \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} = \frac{111}{120} \]

Теперь определим, какая часть котлована останется выкопанной. Полный котлован — это 1, значит: \[ 1 - \frac{111}{120} = \frac{120}{120} - \frac{111}{120} = \frac{9}{120} \]

Упростим: \[ \frac{9}{120} = \frac{3}{40} \]

Таким образом, после работы экскаваторов останется выкопать \( \frac{3}{40} \) котлована.