Векторы a и b образуют угол 135° модуль вектора а равен двум модуль векторов b равен √2 найдите модуль 2 x вектор а - вектор b

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть два вектора \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), которые образуют угол \(135^\circ\). Модуль вектора \(\mathbf{a}\) равен \(2\), а модуль вектора \(\mathbf{b}\) равен \(\sqrt{2}\).

Сначала запишем формулу для нахождения модуля вектора \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\):

\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)} \]

где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Здесь подставляем известные значения:

• \( |\mathbf{a}| = 2\)
• \( |\mathbf{b}| = \sqrt{2}\)
• \( \theta = 135^\circ\)

Найдём \(\cos(135^\circ)\):

\[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \]

Теперь вычисляем:

1. \( |\mathbf{a}|^2 = 2^2 = 4\)
2. \( |\mathbf{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2\)
3. \( 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -4\)

Теперь всё вместе:

\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{4 + 2 + 4} = \sqrt{10} \]

Теперь мы хотим найти модуль \(2\mathbf{a} - \mathbf{b}\). Используем аналогичную формулу:

\[ |2\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|2\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |2\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)} \]

Здесь \( |2\mathbf{a}| = 2 \times |\mathbf{a}| = 2 \cdot 2 = 4\).

Теперь подставим:

\[ |2\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{4^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} \]

Вычисляем:

1. \(4^2 = 16\)
2. \((\sqrt{2})^2 = 2\)
3. \(2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -8\)

Теперь итоговая формула:

\[ |2\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{16 + 2 + 8} = \sqrt{26} \]

Таким образом, модуль \( |2 \mathbf{a} - \mathbf{b}| \) равен \(\sqrt{26}\).