В треугольнике АВС AC =√18, ∠A = 105°, ∠С = 45°. Найди длину стороны АВ.

Чтобы найти длину стороны \(AB\) в треугольнике \(ABC\), где \(AC = \sqrt{18}\), \(\angle A = 105^\circ\), и \(\angle C = 45^\circ\), начнем с вычисления угла \(B\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):

\[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ. \]

Теперь мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противоположного угла одинаково для всех сторон треугольника. Запишем это для \(AB\) (обозначим его как \(c\)):

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{c}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{18}}{\sin 30^\circ}. \]

Значения синусов:

\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\frac{1}{2}}. \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{\sqrt{18}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} \cdot 2 = 2\sqrt{18}. \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{18}. \]

Прибавим \( c \):

\[ c = 2\sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Упрощаем выражение:

\[ c = \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6. \]

Таким образом, длина стороны \(AB\) равна \(6\).

В итоге, длина стороны \(AB\) в треугольнике \(ABC\) составляет \(6\) единиц.