Хорошо, давайте разберём ваши предложения и выпишем основы с указанием типов.
Вот взошла луна златая.
Основа: взошла
Тип: двусоставноеНочь. Улица. Фонарь. Аптека.
Основы: Ночь, Улица, Фонарь, Аптека
Тип: названное (каждое из них – отдельное название)Весь мир – театр, и люди в нём – актёры.
Основы: мир, театр; люди, актёры
Тип: двусоставное (в первом предложении - составная часть, во втором - также двусоставное)Пусть заболею, пусть даже умру – вот тогда они не простят себе, что не подарили мне щенка.
Основы: заболею, умру; простят, не подарили
Тип: двусоставное (из-за наличия подлежащего и сказуемого)Мудрого не обманешь, глупого не переспоришь.
Основы: не обманешь, не переспоришь
Тип: двусоставноеА не посидеть ли нам за чаем?
Основа: посидеть
Тип: двусоставное (вопросительная конструкция)Нужно было помнить всё рассказанное Дениской, чтобы понять его логику.
Основы: нужно, помнить; понять
Тип: двусоставное (глагольные основы с разными функциями)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно помочь с другими аспектами, с удовольствием помогу!