√81√675/√60

Для решения выражения \( \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{675}}{\sqrt{60}} \) мы можем использовать свойства квадратных корней.

Сначала упростим каждую из корней:

1. \( \sqrt{81} = 9 \), так как \( 9^2 = 81 \).

2. Для \( \sqrt{675} \) начнем с разложения на простые множители:

   • \( 675 = 25 \times 27 = 5^2 \times 3^3 \). Из этого следует, что:
   • \( \sqrt{675} = \sqrt{25 \times 27} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{27} = 5 \cdot \sqrt{27} \). А \( 27 \) можно представить как \( 9 \times 3 \):
   • \( \sqrt{27} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \). Таким образом:
   • \( \sqrt{675} = 5 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 15\sqrt{3} \).

3. Теперь определим \( \sqrt{60} \):

   • \( 60 = 4 \times 15 = 4 \times 3 \times 5 \). То есть:
   • \( \sqrt{60} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2 \cdot \sqrt{15} \).

Теперь мы можем подставить все это в наше выражение:

\[ \frac{\sqrt{81} \cdot \sqrt{675}}{\sqrt{60}} = \frac{9 \cdot 15\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} \]

Теперь упростим дробь:

\[ = \frac{135\sqrt{3}}{2\sqrt{15}} \]

Мы можем упростить это выражение, используя \( \sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5} \):

\[ = \frac{135\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{135}{2\sqrt{5}} \]

Умножая числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе, получаем:

\[ = \frac{135\sqrt{5}}{10} = \frac{27\sqrt{5}}{2} \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \frac{27\sqrt{5}}{2} \]