Решить тригонометрические уравнения

Question 1

Задача Задача №1934696

А

Аноним

20 октября 2024 11:31 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2024 11:31

Решить тригонометрические уравнения

Answer

Конечно, давай разберем эти тригонометрические уравнения!

1.7. \( 2\cos{x} - \sqrt{2} = 0 \)

Переносим \( \sqrt{2} \) на другую сторону: \( 2\cos{x} = \sqrt{2} \).
Делим обе стороны на 2: \( \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Знаем, что \( \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

1.8. \( 1 - 2\cos{x} = 0 \)

Переносим \( 2\cos{x} \) на другую сторону: \( 2\cos{x} = 1 \).
Делим обе стороны на 2: \( \cos{x} = \frac{1}{2} \).
Знаем, что \( \cos{x} = \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \).

4.1. \( 2\sin{x}^2 - 5\sin{x} + 2 = 0 \)

Обозначим \( \sin{x} = t \), получаем квадратное уравнение: \( 2t^2 - 5t + 2 = 0 \).
Найдем дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 \).
Корни: \( t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \), \( t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \).
\( t_1 = 2 \) не подходит, так как \( |\sin{x}| \leq 1 \).
При \( t_2 = \frac{1}{2} \), имеем \( \sin{x} = \frac{1}{2} \), тогда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

4.2. \( \cos{x}^2 + 3\cos{x} + 2 = 0 \)

Обозначим \( \cos{x} = t \), получаем квадратное уравнение: \( t^2 + 3t + 2 = 0 \).
Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 \).
Корни: \( t_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \), \( t_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \).
\( t_2 = -2 \) не подходит, так как \( |\cos{x}| \leq 1 \).
При \( t_1 = -1 \), имеем \( \cos{x} = -1 \), тогда \( x = \pi + 2\pi k \).

4.3. \( 2\sin{x}^2 - 3\sin{x} + 1 = 0 \)

Обозначим \( \sin{x} = t \), имеем: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \).
Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 \).
Корни: \( t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \), \( t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \).
При \( t_1 = 1 \), \( \sin{x} = 1 \), тогда \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).
При \( t_2 = \frac{1}{2} \), \( \sin{x} = \frac{1}{2} \), тогда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!

Question 2

решить тригонометрические уравнения

Answer

Конечно, давай разберем эти тригонометрические уравнения! **1.7.** \( 2\cos{x} - \sqrt{2} = 0 \) 1. Переносим \( \sqrt{2} \) на другую сторону: \( 2\cos{x} = \sqrt{2} \). 2. Делим обе стороны на 2: \( \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 3. Знаем, что \( \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число. **1.8.** \( 1 - 2\cos{x} = 0 \) 1. Переносим \( 2\cos{x} \) на другую сторону: \( 2\cos{x} = 1 \). 2. Делим обе стороны на 2: \( \cos{x} = \frac{1}{2} \). 3. Знаем, что \( \cos{x} = \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \). **4.1.** \( 2\sin{x}^2 - 5\sin{x} + 2 = 0 \) 1. Обозначим \( \sin{x} = t \), получаем квадратное уравнение: \( 2t^2 - 5t + 2 = 0 \). 2. Найдем дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 \). 3. Корни: \( t_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \), \( t_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \). 4. \( t_1 = 2 \) не подходит, так как \( |\sin{x}| \leq 1 \). 5. При \( t_2 = \frac{1}{2} \), имеем \( \sin{x} = \frac{1}{2} \), тогда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \). **4.2.** \( \cos{x}^2 + 3\cos{x} + 2 = 0 \) 1. Обозначим \( \cos{x} = t \), получаем квадратное уравнение: \( t^2 + 3t + 2 = 0 \). 2. Найдем дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 \). 3. Корни: \( t_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \), \( t_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \). 4. \( t_2 = -2 \) не подходит, так как \( |\cos{x}| \leq 1 \). 5. При \( t_1 = -1 \), имеем \( \cos{x} = -1 \), тогда \( x = \pi + 2\pi k \). **4.3.** \( 2\sin{x}^2 - 3\sin{x} + 1 = 0 \) 1. Обозначим \( \sin{x} = t \), имеем: \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \). 2. Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 \). 3. Корни: \( t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \), \( t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \). 4. При \( t_1 = 1 \), \( \sin{x} = 1 \), тогда \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \). 5. При \( t_2 = \frac{1}{2} \), \( \sin{x} = \frac{1}{2} \), тогда \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \). Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!