(х+3) (2-х) (х+2) <0

Чтобы решить неравенство \((x + 3)(2 - x)(x + 2) < 0\), давайте разберёмся по шагам.

1. Найдём нули выражения: Каждый множитель равен нулю при следующих значениях \(x\):

   • \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
   • \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\)
   • \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

   Таким образом, нули выражения: \(x = -3\), \(x = -2\) и \(x = 2\).

2. Определим интервалы: Полученные нули делят числовую ось на 4 интервала:

   • \((-\infty, -3)\)
   • \((-3, -2)\)
   • \((-2, 2)\)
   • \((2, +\infty)\)

3. Проверим знак выражения на каждом интервале: Возьмем тестовую точку из каждого интервала и подставим в выражение:

   • Для интервала \((-\infty, -3)\), например, \(x = -4\): \[ (-4 + 3)(2 - (-4))( -4 + 2) = (-1)(6)(-2) = 12 > 0 \]
   • Для интервала \((-3, -2)\), например, \(x = -2.5\): \[ (-2.5 + 3)(2 - (-2.5))( -2.5 + 2) = (0.5)(4.5)(-0.5) = -1.125 < 0 \]
   • Для интервала \((-2, 2)\), например, \(x = 0\): \[ (0 + 3)(2 - 0)(0 + 2) = (3)(2)(2) = 12 > 0 \]
   • Для интервала \((2, +\infty)\), например, \(x = 3\): \[ (3 + 3)(2 - 3)(3 + 2) = (6)(-1)(5) = -30 < 0 \]

4. Теперь можем записать знак на каждом интервале:

   • \((-\infty, -3)\): положительное
   • \((-3, -2)\): отрицательное
   • \((-2, 2)\): положительное
   • \((2, +\infty)\): отрицательное

5. Соберем результаты: Мы ищем интервалы, где произведение меньше нуля (\(< 0\)):

   • Отрицательное на интервале \((-3, -2)\)
   • Отрицательное на интервале \((2, +\infty)\)

6. Запишем ответ: Решение неравенства \((x + 3)(2 - x)(x + 2) < 0\) будет: \[ x \in (-3, -2) \cup (2, +\infty) \]

Если у вас остались вопросы или нужны пояснения, не стесняйтесь задавать!