Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( m_1 = 12 \, \text{кг} \) — масса первого раствора,
- \( m_2 = 8 \, \text{кг} \) — масса второго раствора,
- \( x_1 \) — концентрация кислоты в первом растворе (в долях),
- \( x_2 \) — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).
1. Смешивание обоих растворов
Когда оба раствора смешиваются, объём получаемого раствора равен \( m_1 + m_2 = 20 \, \text{кг} \), и получаем 65% раствора кислоты: \[ \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = 0.65 \] Подставляем наши значения: \[ \frac{12 x_1 + 8 x_2}{20} = 0.65 \] Умножим обе стороны на 20: \[ 12 x_1 + 8 x_2 = 13 \] Это уравнение (1).
2. Смешивание равных масс растворов
Если мы смешиваем равные массы, например по 4 кг от каждого раствора, то получаем: \[ \frac{4 x_1 + 4 x_2}{4 + 4} = 0.60 \] Упрощаем: \[ \frac{4 x_1 + 4 x_2}{8} = 0.60 \] Умножаем обе стороны на 8: \[ 4 x_1 + 4 x_2 = 4.8 \] Разделим на 4: \[ x_1 + x_2 = 1.2 \] Это уравнение (2).
3. Система уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 12 x_1 + 8 x_2 = 13 \)
- \( x_1 + x_2 = 1.2 \)
4. Решение системы
Из уравнения (2) выразим \( x_1 \): \[ x_1 = 1.2 - x_2 \]
Теперь подставим \( x_1 \) из уравнения (2) в уравнение (1): \[ 12 (1.2 - x_2) + 8 x_2 = 13 \] Раскроем скобки: \[ 14.4 - 12 x_2 + 8 x_2 = 13 \] Соберем все \( x_2 \): \[ 14.4 - 4 x_2 = 13 \] Переносим 14.4 на правую сторону: \[ -4 x_2 = 13 - 14.4 \] \[ -4 x_2 = -1.4 \] Делим на -4: \[ x_2 = 0.35 \]
5. Находим количество кислоты во втором растворе
Теперь находим массу кислоты во втором растворе, который весит 8 кг: \[ \text{масса кислоты} = m_2 \cdot x_2 = 8 \cdot 0.35 = 2.8 \, \text{кг}. \]
Таким образом, во втором растворе содержится 2.8 кг кислоты.
