4^x -3×2^x <0

Чтобы решить неравенство \( 4^x - 3 \times 2^x < 0 \), давайте сначала упростим его.

1. Заметим, что \( 4^x \) можно переписать как \( (2^2)^x = 2^{2x} \). Таким образом, неравенство превращается в: \[ 2^{2x} - 3 \times 2^x < 0 \]

2. Введем замену переменной: пусть \( y = 2^x \). Тогда неравенство станет: \[ y^2 - 3y < 0 \]

3. Теперь решим это неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( y^2 - 3y = 0 \): \[ y(y - 3) = 0 \] Корнями являются \( y = 0 \) и \( y = 3 \).

4. Теперь можно изучить знаки выражения \( y(y - 3) \) в интервалах, определенных корнями:

   • \( (-\infty, 0) \): здесь \( y < 0\), значит, \( y(y - 3) > 0 \)
   • \( (0, 3) \): здесь \( y > 0 \), но \( y < 3 \), значит, \( y(y - 3) < 0 \)
   • \( (3, +\infty) \): здесь \( y > 3 \), значит, \( y(y - 3) > 0 \)

5. Мы видим, что неравенство \( y(y - 3) < 0 \) выполняется в интервале \( (0, 3) \).

6. Вспомнив, что \( y = 2^x \) и что \( 2^x > 0 \) для всех \( x \), мы можем записать: \[ 0 < 2^x < 3 \]

7. Теперь найдём значения \( x \):

   • Для \( 2^x < 3 \) получаем \( x < \log_2(3) \).

Таким образом, решением нашего неравенства будет: \[ x < \log_2(3) \]

Если обозначить \( \log_2(3) \) примерно равным \( 1.585 \), то итоговое решение будет в виде: \[ x < 1.585 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!