найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку. f (x)= sin3c- 1/2cos2x; ,M (0;1)
Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \sin(3x) - \frac{1}{2}\cos(2x) \), которая проходит через точку \( M(0, 1) \), нужно выполнить несколько шагов.
- Найти первообразную функции.
Для нахождения первообразной нужно интегрировать функцию \( f(x) \).
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\sin(3x) - \frac{1}{2} \cos(2x)) \, dx \]
Теперь мы интегрируем каждую часть отдельно.
- Первая часть:
\[ \int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C_1 \]
- Вторая часть:
\[ \int -\frac{1}{2} \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + C_2 = -\frac{1}{4} \sin(2x) + C_2 \]
Таким образом, объединяя обе части, получаем:
\[ F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x) - \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
- Найти константу \( C \), чтобы график проходил через точку \( M(0, 1) \).
Подставим \( x = 0 \) в первообразную \( F(x) \):
\[ F(0) = -\frac{1}{3} \cos(0) - \frac{1}{4} \sin(0) + C = -\frac{1}{3} \cdot 1 - 0 + C = -\frac{1}{3} + C \]
Теперь нам нужно, чтобы \( F(0) = 1 \):
\[ -\frac{1}{3} + C = 1 \]
Решим это уравнение:
\[ C = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
- Получаем окончательную первообразную.
Таким образом, первообразная функции, график которой проходит через точку \( M(0, 1) \):
\[ F(x) = -\frac{1}{3} \cos(3x) - \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{4}{3} \]
Это и есть искомая первообразная. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснить какой-либо момент, не стесняйтесь спрашивать!
