Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Question 1

Задача Задача №1935934

А

Аноним

20 октября 2024 12:52 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2024 12:52

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Answer

Чтобы найти ёмкость конденсатора в колебательном контуре, можно использовать зависимости между максимальными значениями тока и напряжения, а также формулы для индуктивности и ёмкости.

Сначала вспомним, что в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, продукты максимального тока и максимального напряжения определяются следующими формулами:

Максимальное значение тока \( I_{max} \) в контуре: \[ I_{max} = \frac{U_{max}}{Z} \] где \( Z \) - полное сопротивление колебательного контура.
Полное сопротивление \( Z \) связано с индуктивностью \( L \) и ёмкостью \( C \) следующим образом: \[ Z = \sqrt{L \cdot C} \cdot \omega \] где \( \omega \) — угловая частота, которая равна \( \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \).

Также известно, что максимальное напряжение на конденсаторе тоже зависит от этих величин. Используя формулы, можно выразить ёмкость через известные параметры.

Сначала пересчитаем индуктивность в Генри: \[ L = 50 \, \mu H = 50 \times 10^{-6} \, H = 5 \times 10^{-5} \, H \]

Максимальное напряжение на конденсаторе: \[ U_{max} = 200 \, V \]

Максимальное значение тока: \[ I_{max} = 40 \, mA = 0.04 \, A \]

Используя формулу \( U = I \cdot Z \), можем выразить сопротивление: \[ Z = \frac{U_{max}}{I_{max}} = \frac{200 \, V}{0.04 \, A} = 5000 \, \Omega \]

Теперь можем записать:

\[ Z = \sqrt{L \cdot C} \cdot \omega = \sqrt{L \cdot C} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \]

Это упрощается до

\[ Z = \sqrt{\frac{L}{C}} \]

Теперь подставим известные значения: \[ 5000 = \sqrt{\frac{5 \times 10^{-5}}{C}} \]

Возведем обе стороны в квадрат: \[ 25000000 = \frac{5 \times 10^{-5}}{C} \]

Теперь выразим ёмкость \( C \): \[ C = \frac{5 \times 10^{-5}}{25000000} = 2 \times 10^{-12} \, F \]

Поскольку требуется выразить ёмкость в пикоФарадах (пФ): \[ C = 2 \, pF \]

Таким образом, ёмкость конденсатора составляет 2 пФ.

Question 2

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Answer

Чтобы найти ёмкость конденсатора в колебательном контуре, можно использовать зависимости между максимальными значениями тока и напряжения, а также формулы для индуктивности и ёмкости. Сначала вспомним, что в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, продукты максимального тока и максимального напряжения определяются следующими формулами: 1. Максимальное значение тока \( I_{max} \) в контуре: \[ I_{max} = \frac{U_{max}}{Z} \] где \( Z \) - полное сопротивление колебательного контура. 2. Полное сопротивление \( Z \) связано с индуктивностью \( L \) и ёмкостью \( C \) следующим образом: \[ Z = \sqrt{L \cdot C} \cdot \omega \] где \( \omega \) — угловая частота, которая равна \( \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \). Также известно, что максимальное напряжение на конденсаторе тоже зависит от этих величин. Используя формулы, можно выразить ёмкость через известные параметры. Сначала пересчитаем индуктивность в Генри: \[ L = 50 \, \mu H = 50 \times 10^{-6} \, H = 5 \times 10^{-5} \, H \] Максимальное напряжение на конденсаторе: \[ U_{max} = 200 \, V \] Максимальное значение тока: \[ I_{max} = 40 \, mA = 0.04 \, A \] Используя формулу \( U = I \cdot Z \), можем выразить сопротивление: \[ Z = \frac{U_{max}}{I_{max}} = \frac{200 \, V}{0.04 \, A} = 5000 \, \Omega \] Теперь можем записать: \[ Z = \sqrt{L \cdot C} \cdot \omega = \sqrt{L \cdot C} \cdot \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \] Это упрощается до \[ Z = \sqrt{\frac{L}{C}} \] Теперь подставим известные значения: \[ 5000 = \sqrt{\frac{5 \times 10^{-5}}{C}} \] Возведем обе стороны в квадрат: \[ 25000000 = \frac{5 \times 10^{-5}}{C} \] Теперь выразим ёмкость \( C \): \[ C = \frac{5 \times 10^{-5}}{25000000} = 2 \times 10^{-12} \, F \] Поскольку требуется выразить ёмкость в пикоФарадах (пФ): \[ C = 2 \, pF \] Таким образом, ёмкость конденсатора составляет 2 пФ.