Заряд конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону q(t)=0,004cos(400t). Чему равна полная энергия колебательного контура в мкДж, если индуктивность катушки 400 мкГн?
Для нахождения полной энергии колебательного контура, давайте сначала разберёмся с формулами, которые нам понадобятся.
Полная энергия в колебательном контуре (состоящем из конденсатора и катушки индуктивности) можно вычислить, используя следующую формулу:
\[ E = \frac{1}{2} C U^2 \]
или
\[ E = \frac{1}{2} L I^2 \]
где:
- \( E \) — полная энергия,
- \( C \) — ёмкость конденсатора,
- \( U \) — напряжение на конденсаторе,
- \( L \) — индуктивность катушки,
- \( I \) — ток в цепи.
В задании у нас есть заряд конденсатора, который изменяется по закону:
\[ q(t) = 0,004 \cos(400t) \]
Из этого уравнения мы видим, что максимальный заряд \( q_{max} = 0,004 \) Кл.
Для получения максимального напряжения на конденсаторе (при максимальном заряде) воспользуемся формулой:
\[ U_{max} = \frac{q_{max}}{C} \]
Мы знаем, что напряжение связано с ёмкостью и зарядом. Для определения ёмкости \( C \) нам нужно знать зависимость заряда и напряжения. Обычно мы используем \( C = \frac{q_{max}}{U_{max}} \).
Теперь, если мы знаем, что в колебательном контуре энергия сохраняется и передается от конденсатора к катушке, можно также использовать индуктивность для получения максимального тока \( I_{max} \):
\[ I_{max} = \frac{q_{max}}{L} \]
Так как индуктивность катушки \( L = 400 \, \mu H = 400 \times 10^{-6} H \), мы можем перевести это в Джоули, используя формулу для энергии в контуре:
Теперь мы можем найти полную энергию, используя более простой подход с использованием формулы для полной энергии на основе индуктивности, так как \( L \) у нас есть:
Используя максимальный ток, мы можем вычислить полную энергию:
\[ E = \frac{1}{2} L I^2 \]
Для этого нам нужно сначала найти \( I_{max} \):
\[ I_{max} = \frac{q_{max}}{L} = \frac{0,004}{400 \times 10^{-6}} = 10 \, A \]
Теперь, подставим значение тока в формулу для энергии:
\[ E = \frac{1}{2} \cdot 400 \times 10^{-6} \cdot (10)^2 \] \[ E = \frac{1}{2} \cdot 400 \times 10^{-6} \cdot 100 \] \[ E = 20 \times 10^{-3} = 0,02 \, Дж \]
Теперь переведём это значение в микроджоули:
\[ E = 0,02 \times 10^6 \, \mu J \] \[ E = 20000 \, \mu J \]
Таким образом, полная энергия колебательного контура составляет 20000 микроджоулей.
