Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело, и продолжительность его падения. (56,6 м; 3,4 с)

Чтобы решить задачу о свободно падающем теле, воспользуемся законами физики, касающимися движения с постоянным ускорением.

1. Пусть высота падения равна \( h \), а время падения – \( t \).

2. По условию задачи, в последнюю секунду падения тело проходит половину от всего пути. То есть, за \( t - 1 \) секунду оно проходит \( \frac{h}{2} \), а за последнюю секунду – также \( \frac{h}{2} \).

3. Используем формулу расстояния для свободного падения:

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]

где \( g \) – ускорение свободного падения, приблизительно равное \( 9.8 \, м/с^2 \).

Теперь разложим путь на две части:

• За \( t - 1 \) секунду: \[ h_1 = \frac{1}{2} g (t - 1)^2 \]

• За последнюю секунду: \[ h_2 = h - h_1 \] И по условию задачи \( h_2 = \frac{h}{2} \).

Таким образом, мы можем записать:

\[ h - \frac{1}{2} g (t - 1)^2 = \frac{h}{2} \]

Упростим это уравнение:

\[ h = \frac{1}{2} g (t - 1)^2 + \frac{h}{2} \] \[ \frac{h}{2} = \frac{1}{2} g (t - 1)^2 \]

Умножим обе стороны на \( 2 \):

\[ h = g (t - 1)^2 \]

Теперь подставим значение \( g \) и выразим высоту \( h \) в терминах \( t \):

\[ h = 9.8 (t - 1)^2 \]

Сейчас воспользуемся формулой для \( h \):

\[ h = \frac{1}{2} g t^2 \]

Подставим \( g \):

\[ h = 4.9 t^2 \]

Теперь у нас есть две формулы для высоты:

1. \( h = 9.8 (t - 1)^2 \)
2. \( h = 4.9 t^2 \)

Приравняем их:

\[ 9.8 (t - 1)^2 = 4.9 t^2 \]

Упрощаем:

\[ (9.8 (t^2 - 2t + 1) = 4.9 t^2 \] \[ 9.8 t^2 - 19.6 t + 9.8 = 4.9 t^2 \] \[ 4.9 t^2 - 19.6 t + 9.8 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-19.6)^2 - 4 * 4.9 * 9.8 = 384.16 - 192.08 = 192.08 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19.6 \pm \sqrt{192.08}}{2 * 4.9} \]

Расчитайте \( \sqrt{192.08} \approx 13.86 \):

\[ t \approx \frac{19.6 + 13.86}{9.8} \approx \frac{33.46}{9.8} \approx 3.41 \, с \]

Или

\[ t \approx \frac{19.6 - 13.86}{9.8} \approx \frac{5.74}{9.8} \approx 0.58 \, с \]

Так как нас интересует положительное значение, принимаем \( t = 3.4 \, с \).

Теперь подставим \( t \) для нахождения \( h \):

\[ h = 4.9 (3.4)^2 \approx 4.9 * 11.56 \approx 56.66 \, м \]

Таким образом, тело падает с высоты приблизительно 56.6 метра и продолжительность его падения составляет около 3.4 секунд.