Решите неравенство: (x+1)(x-3)(x+4)(x-5)>0

Давайте решим неравенство \((x+1)(x-3)(x+4)(x-5)>0\).

1. Найдем нули функции: Это точки, в которых каждый множитель равен нулю: \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \] \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

   Итак, нули функции: \(x = -4, -1, 3, 5\).

2. Разобьем числовую прямую на интервалы: Мы будем работать с интервалами, которые определяются найденными нулями:

   • \((- \infty, -4)\)
   • \((-4, -1)\)
   • \((-1, 3)\)
   • \((3, 5)\)
   • \((5, + \infty)\)

3. Определим знак произведения на каждом интервале: Для этого можно выбрать тестовые точки из каждого интервала:

   • Для \((- \infty, -4)\), например, \(x = -5\): \[ (-5 + 1)(-5 - 3)(-5 + 4)(-5 - 5) = (-4)(-8)(-1)(-10) > 0 \]
   • Для \((-4, -1)\), например, \(x = -2\): \[ (-2 + 1)(-2 - 3)(-2 + 4)(-2 - 5) = (-1)(-5)(2)(-7) < 0 \]
   • Для \((-1, 3)\), например, \(x = 0\): \[ (0 + 1)(0 - 3)(0 + 4)(0 - 5) = (1)(-3)(4)(-5) > 0 \]
   • Для \((3, 5)\), например, \(x = 4\): \[ (4 + 1)(4 - 3)(4 + 4)(4 - 5) = (5)(1)(8)(-1) < 0 \]
   • Для \((5, +\infty)\), например, \(x = 6\): \[ (6 + 1)(6 - 3)(6 + 4)(6 - 5) = (7)(3)(10)(1) > 0 \]

4. Соберем результаты:

   • Знаки:
     • \((- \infty, -4)\): \(>\)
     • \((-4, -1)\): \(<\)
     • \((-1, 3)\): \(>\)
     • \((3, 5)\): \(<\)
     • \((5, +\infty)\): \(>\)

5. Определим, где неравенство выполняется: Неравенство \((x+1)(x-3)(x+4)(x-5) > 0\) выполняется на интервалах:

   • \((- \infty, -4)\)
   • \((-1, 3)\)
   • \((5, +\infty)\)

6. Записываем окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 3) \cup (5, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то подробнее, пожалуйста, дайте знать!