Большой поршень гидравлической машины поднимает груз массой 450 кг. При этом на малый поршень действует сила 150 Н. Найдите площадь ма лого поршня, если площадь большого 90 см³. На ка- кое расстояние опустится малый поршень, если боль шой поднимется на 1 см?
Чтобы решить данную задачу, давайте сначала вспомним закон Паскаля, который говорит, что давление в жидкости передается во всех направлениях одинаково. Это можно записать в виде уравнений, используя формулы для давления и силы.
- Сначала найдем площадь малого поршня (S1). Давление на малом и большом поршне должно быть одинаковым. Для этого используем формулу давления:
\[ P = \frac{F}{S} \]
где:
- \( P \) — давление,
- \( F \) — сила,
- \( S \) — площадь.
Для большого поршня:
\[ P_2 = \frac{m \cdot g}{S_2} \] где \( m = 450 \) кг — масса груза, \( g \approx 9.81 \) м/с² — ускорение свободного падения, \( S_2 = 90 \) см² = 0.009 м².
Сначала вычислим силу, действующую на большой поршень:
\[ F_2 = m \cdot g = 450 \cdot 9.81 \approx 4414.5 \text{ Н} \]
Теперь найдем давление на большом поршне:
\[ P_2 = \frac{4414.5}{0.009} \approx 490500 \text{ Па} \]
Теперь вычислим давление на малом поршне:
\[ P_1 = \frac{F_1}{S_1} \]
где \( F_1 = 150 \) Н — сила на малом поршне. Приравняем давления:
\[ P_1 = P_2 \]
Следовательно:
\[ \frac{150}{S_1} = 490500 \]
Теперь решим это уравнение для \( S_1 \):
\[ 150 = 490500 \cdot S_1 \]
\[ S_1 = \frac{150}{490500} \approx 0.000305 \text{ м}^2 = 3.05 \text{ см}^2 \]
Итак, площадь малого поршня составляет примерно 3.05 см².
- Теперь давайте найдем, на какое расстояние опустится малый поршень, если большой поднимется на 1 см. Используем закон сохранения энергии, который гласит: объем вытесненной жидкости остается постоянным.
Объем, перемещенный большим поршнем:
\[ V_2 = S_2 \cdot h_2 = 0.009 \cdot 0.01 = 0.00009 \text{ м}^3 \]
где \( h_2 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м} \).
Объем, перемещенный малым поршнем:
\[ V_1 = S_1 \cdot h_1 \]
Приравняем объемы:
\[ 0.009 \cdot 0.01 = S_1 \cdot h_1 \]
Подставляем \( S_1 \):
\[ 0.00009 = 0.000305 \cdot h_1 \]
Решаем для \( h_1 \):
\[ h_1 = \frac{0.00009}{0.000305} \approx 0.295 \text{ м} \approx 29.5 \text{ см} \]
Таким образом, малый поршень опустится на примерно 29.5 см, если большой поднимется на 1 см.
