(x-4)(2x+3)>0 x(x+7)<8

Чтобы решить систему неравенств \((x-4)(2x+3) > 0\) и \(x(x+7) < 8\), давайте начнем поэтапно.

Первое неравенство: \((x-4)(2x+3) > 0\)

1. Найдём корни:

   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   • \(2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)

2. Определим знак произведения: Мы имеем корни \(x = -\frac{3}{2}\) и \(x = 4\). Поделим числовую ось на промежутки:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
   • \( (-\frac{3}{2}, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

3. Выберем тестовые точки из каждого промежутка:

   • Для \(x < -\frac{3}{2}\) (например, \(x = -2\)): \(( -2 - 4)(2 \cdot -2 + 3) = (-6)(-1) > 0\) (положительно)
   • Для \(-\frac{3}{2} < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \((0 - 4)(2 \cdot 0 + 3) = (-4)(3) < 0\) (отрицательно)
   • Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \((5 - 4)(2 \cdot 5 + 3) = (1)(13) > 0\) (положительно)

4. Знак неравенства: Объединяя результаты, получаем:

   • \((-\infty, -\frac{3}{2})\) и \((4, +\infty)\)

Второе неравенство: \(x(x + 7) < 8\)

1. Перепишем неравенство: \[ x^2 + 7x - 8 < 0 \]

2. Найдём корни: Используем дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \quad (D > 0) \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 \pm 9}{2} \] Это даёт корни: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -8 \]

3. Определим знак: Промежутки:

   • \((- \infty, -8)\)
   • \((-8, 1)\)
   • \((1, +\infty)\)

4. Выберем тестовые точки:

   • Для \(x < -8\) (например, \(x = -9\)): \((-9)(-2) > 0\)
   • Для \(-8 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \((0)(7) < 8\) (отрицательно)
   • Для \(x > 1\) (например, \(x = 2\)): \((2)(9) > 8\)

5. Знак неравенства: Получаем:

   • \((-8, 1)\)

Объединение результатов

Теперь нужно объединить решения двух неравенств:

1. Из первого неравенства: \((-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (4, +\infty)\)
2. Из второго неравенства: \((-8, 1)\)

Объединяем:

• Пересечение: \((-8, -\frac{3}{2})\)

Ответ:

Решение данной системы неравенств: \(x \in (-8, -\frac{3}{2})\).