Решите уравнения: √32/16^x^2=8^3x 9× 3^sin x =√27 2^x-1 =12^2x × 3^-2x × 2^x+1 5^√7^x+1=49/√7

Давайте поочередно решим каждое из уравнений.

1. Уравнение:
   \(\sqrt{\frac{32}{16^{x^2}}} = 8^{3x}\)

   Сначала преобразуем левую сторону уравнения: \[ \sqrt{\frac{32}{16^{x^2}}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{16^{x^2}}} = \frac{4\sqrt{2}}{16^{\frac{x^2}{2}}}. \] Поскольку \(16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4\), то: \[ 16^{\frac{x^2}{2}} = (2^4)^{\frac{x^2}{2}} = 2^{2x^2}. \] Итак, левую сторону можно записать как: \[ \frac{4\sqrt{2}}{2^{2x^2}} = \frac{4 \cdot 2^{1/2}}{2^{2x^2}} = \frac{4}{2^{2x^2 - 1/2}}. \]

   Теперь упростим правую сторону: \[ 8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}. \] Таким образом, уравнение выглядит так: \[ \frac{4}{2^{2x^2 - 1/2}} = 2^{9x}. \]

   Теперь, приводя все к основанию 2: \[ 4 = 2^2 \implies \frac{2^2}{2^{2x^2 - 1/2}} = 2^{9x}, \] что дает: \[ 2^{2 - (2x^2 - 1/2)} = 2^{9x} \implies 2 - (2x^2 - 1/2) = 9x. \] Упрощаем: \[ 2 - 2x^2 + \frac{1}{2} = 9x \implies \frac{5}{2} - 2x^2 = 9x \implies 2x^2 + 9x - \frac{5}{2} = 0. \]

   Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ 4x^2 + 18x - 5 = 0. \] Используем дискриминант: \[ D = 18^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 324 + 80 = 404. \] Решим уравнение: \[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{404}}{8} = \frac{-18 \pm 2\sqrt{101}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{101}}{4}. \]

2. Уравнение:
   \(9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}\)

   Упрощаем правую сторону: \[ \sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}. \] Теперь уравнение: \[ 9 \cdot 3^{\sin x} = 3^{3/2}. \] Поскольку \(9 = 3^2\), мы можем переписать уравнение так: \[ 3^2 \cdot 3^{\sin x} = 3^{3/2} \implies 3^{2 + \sin x} = 3^{3/2}. \] Поэтому равны экспоненты: \[ 2 + \sin x = \frac{3}{2}. \] Решая это уравнение, получаем: \[ \sin x = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}. \] Таким образом, \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

3. Уравнение:
   \(2^{x - 1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x + 1}\)

   Упрощаем правую сторону: \[ 12^{2x} = (2^2 \cdot 3)^{2x} = 2^{4x} \cdot 3^{2x}. \] Таким образом, \[ 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x + 1} = 2^{4x} \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1} = 2^{4x} \cdot 2^{x + 1} = 2^{4x + x + 1} = 2^{5x + 1}. \] Теперь у нас уравнение: \[ 2^{x - 1} = 2^{5x + 1}. \] Приравниваем экспоненты: \[ x - 1 = 5x + 1 \implies -1 - 1 = 5x - x \implies -2 = 4x \implies x = -\frac{1}{2}. \]

4. Уравнение:
   \(5^{\sqrt{7^{x + 1}}} = \frac{49}{\sqrt{7}}\)

   Упрощаем правую сторону: \[ 49 = 7^2 \implies \frac{49}{\sqrt{7}} = \frac{7^2}{7^{1/2}} = 7^{2 - 1/2} = 7^{3/2}. \]

   Теперь уравнение становится: \[ 5^{\sqrt{7^{x + 1}}} = 7^{3/2}. \]

   Давайте возьмем логарифм обеих сторон: \[ \sqrt{7^{x + 1}} \log 5 = \frac{3}{2} \log 7. \] Возводим обе стороны в квадрат: \[ 7^{x + 1} (\log 5)^2 = \left(\frac{3}{2} \log 7\right)^2. \] Поделим обе стороны на \((\log 5)^2\): \[ 7^{x + 1} = \frac{(\frac{3}{2} \log 7)^2}{(\log 5)^2}. \] Логарифмируем: \[ x + 1 = \log_7\left(\frac{(\frac{3}{2} \log 7)^2}{(\log 5)^2}\right). \] Отсюда находим \(x\).

Если у вас есть какие-либо дальнейшие вопросы или дополнительные уравнения, не стесняйтесь спрашивать!