У Романа на полке стоят 13 книг (4 из которых рассказы, а остальные — учебники). Сколькими способами подросток может выбрать 3 книги? Если Роману не нужны рассказы, то книги он может выбрать столькими способами: Если Роману нужно сделать выбор, включающий в себя и учебники, и книги-рассказы, то книги он может выбрать столькими способами:
Чтобы решить эти задачи, будем использовать формулу сочетаний, которая обозначает количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) без учета порядка и вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Выбор 3 книг из 13:
У Романа есть 13 книг. Мы хотим выбрать 3 книги из них:
\[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \]
Таким образом, Роман может выбрать 3 книги 286 способами.
Выбор 3 книг, не включая рассказы:
Из 13 книг 4 — рассказы, а значит, 9 книг — учебники. Если Роману нужны только учебники, он может выбрать 3 книги из 9:
\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \]
Таким образом, если Роману не нужны рассказы, он может выбрать книги 84 способами.
Выбор 3 книг, включая и учебники, и рассказы:
Здесь подразумевается, что Роман должен выбрать хотя бы одну книгу-рассказ и хотя бы одну учебник. Возможные варианты выбора могут быть следующими:
- 1 рассказ и 2 учебника
- 2 рассказа и 1 учебник
Теперь посчитаем число способов для каждого варианта:
1 рассказ и 2 учебника:
Мы можем выбрать 1 рассказ из 4 и 2 учебника из 9:
\[ C(4, 1) \times C(9, 2) = 4 \times \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 4 \times 36 = 144 \]
2 рассказа и 1 учебник:
Мы можем выбрать 2 рассказа из 4 и 1 учебник из 9:
\[ C(4, 2) \times C(9, 1) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 9 = 6 \times 9 = 54 \]
Объединяя оба случая, получаем общее количество способов:
\[ 144 + 54 = 198 \]
Таким образом, если Роману нужно сделать выбор, включающий в себя и учебники, и книги-рассказы, он может выбрать книги 198 способами.
