В городе Н. водители Гаврилов и Петров арендуют такси у автопарка и возят пассажиров по маршруту «аэропорт – центр города» туда и обратно. Расходы на поездку в одну сторону (стоимость бензина) составляют 70 рублей. Кроме того, водители платят автопарку арендную плату – 1 100 рублей за рабочую смену (независимо от количества поездок). Экспериментально установлено, что спрос на поездки линейно зависит от цены. В таблице приведены два значения этой зависимости. Цена поездки, руб. Количество поездок одного автомобиля за смену 330 18 430 15 Какую цену поездки следует установить водителям, чтобы заработок был максимальным (с учётом оплаты бензина)? Каким при этом будет среднее количество поездок за смену?

Для того чтобы определить максимально возможный заработок водителей, нужно проанализировать, как цена влияет на количество поездок и, соответственно, на доход.

Имеем следующие данные:

• При цене 330 рублей количество поездок: 18
• При цене 430 рублей количество поездок: 15
• Расходы на бензин за одну поездку: 70 рублей
• Арендная плата за смену: 1 100 рублей

Сначала определим общий доход (Д) и прибыль (П) для каждой из цен.

1. При цене 330 рублей:

• Общий доход: \( Д = 330 \times 18 = 5940 \) рублей
• Общие расходы на бензин: \( 70 \times 18 = 1260 \) рублей
• Прибыль: \( П = Д - (1260 + 1100) = 5940 - 2360 = 3580 \) рублей

2. При цене 430 рублей:

• Общий доход: \( Д = 430 \times 15 = 6450 \) рублей
• Общие расходы на бензин: \( 70 \times 15 = 1050 \) рублей
• Прибыль: \( П = Д - (1050 + 1100) = 6450 - 2150 = 4300 \) рублей

Теперь порассмотрим изменение спроса в зависимости от цены. Из предоставленных данных можно найти линейную зависимость:

Пусть \( P \) - цена, а \( Q \) - количество поездок. У нас есть две точки: (330, 18) и (430, 15).

Уравнение линии спроса можно записать в форме: \[ Q = a \cdot P + b \]

Для нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \), можем использовать метод двух точек:

1. Найдем прирост \( Q \) и \( P \): \[ a = \frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1} = \frac{15 - 18}{430 - 330} = \frac{-3}{100} = -0.03 \]

2. Используем одну из точек, подставим в уравнение: \[ 18 = -0.03 \cdot 330 + b \] \[ b = 18 + 9.9 = 27.9 \]

Таким образом, зависимость будет: \[ Q = -0.03P + 27.9 \]

Теперь найдем оптимальную цену, при которой прибыль будет максимальной. Прибыль \( П \) определяется как:

\[ П = PQ - (70Q + 1100) \] \[ П = PQ - 70Q - 1100 \]

Подставим \( Q \) из уравнения спроса:

\[ П = P(-0.03P + 27.9) - 70(-0.03P + 27.9) - 1100 \]

Упростим уравнение:

\[ П = -0.03P^2 + 27.9P + 2.1P - 1953 - 1100 \] \[ П = -0.03P^2 + 29.0P - 3053 \]

Теперь найдём максимум, определив производную и приравняв её к нулю:

\[ \frac{dП}{dP} = -0.06P + 29 = 0 \]

Отсюда:

\[ P = \frac{29}{0.06} \approx 483.33 \text{ рублей} \]

Теперь подставим эту цену обратно в уравнение спроса, чтобы найти среднее количество поездок:

\[ Q = -0.03 \cdot 483.33 + 27.9 \approx 14.6 \]

Таким образом, оптимальная цена для максимизации дохода составляет приблизительно 483 рубля, а среднее количество поездок за смену при этой цене будет около 14.6.