(х-1)2(х - 4)<0

Чтобы решить неравенство \((x - 1)^2(x - 4) < 0\), начнем с нахождения корней. Мы видим, что:

1. Первый корень: \((x - 1)^2 = 0\) — это корень с мультплицительностью 2, то есть \(x = 1\).
2. Второй корень: \(x - 4 = 0\) — это простой корень, то есть \(x = 4\).

Теперь у нас есть два корня: \(x = 1\) и \(x = 4\).

Далее, необходимо определить знаки выражения на интервалах, разделенных этими корнями. Мы рассмотрим следующие интервалы:

1. \((-\infty, 1)\)
2. \((1, 4)\)
3. \((4, +\infty)\)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала:

1. Для интервала \((-\infty, 1)\): выберем \(x = 0\). \[ (0 - 1)^2(0 - 4) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0 \] Знак отрицательный.

2. Для интервала \((1, 4)\): выберем \(x = 2\). \[ (2 - 1)^2(2 - 4) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \] Знак отрицательный.

3. Для интервала \((4, +\infty)\): выберем \(x = 5\). \[ (5 - 1)^2(5 - 4) = 16 \cdot 1 = 16 > 0 \] Знак положительный.

Теперь мы можем подытожить:

• В интервалах \((-\infty, 1)\) и \((1, 4)\) выражение отрицательное.
• В интервале \((4, +\infty)\) выражение положительное.

Неравенство \((x - 1)^2(x - 4) < 0\) выполняется на интервалах:

\[ (-\infty, 1) \cup (1, 4) \]

Таким образом, решением неравенства является \( (-\infty, 1) \cup (1, 4) \).