Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, пер- пендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В про- ведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что треугольника ВСН больше периметра треугольни-

Чтобы доказать, что периметр треугольника \(BCN\) больше периметра треугольника \(ABC\), рассмотрим проведенные построения и свойства треугольников.

1. Обозначим \(M\) - точку пересечения биссектрисы угла \(A\) с прямой, проведенной через вершину \(A\) и перпендикулярной к биссектрисе. Поскольку прямая перпендикулярна к биссектрисе, то угол между биссектрисой и этой прямой составляет \(90^\circ\).

2. Поскольку из точки \(B\) проведен перпендикуляр \(BN\) к прямой \(AM\), это означает, что угол \(BNM = 90^\circ\).

3. Теперь обратим внимание на треугольник \(BCN\):

   • Сторона \(BN\) является высотой, проведенной из точки \(B\) к стороне \(AC\).
   • Согласно теореме о высотах в треугольниках, высота всегда меньше или равна соответствующей стороне (если углы треугольника острые, то высота будет меньше, чем сторона).

4. Разберем периметры: \[ P_{ABC} = AB + BC + AC \] \[ P_{BCN} = BC + CN + BN \]

5. Поскольку \(CN\) (параллельно стороне \(AC\)) и \(BN\) (высота) соответствуют условиям, показывающим, что периметр \(BCN\) должен быть больше, чем \(AB + AC\):

   • Высота меньше длины стороны \(AC\), и, следовательно, \(BN < AC\).

6. В результате, можно сделать вывод, что: \[ P_{BCN} = BC + CN + BN > AB + BC + AC = P_{ABC} \]

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника \(BCN\) больше периметра треугольника \(ABC\).