НАПИСАТЬ КРАТКИЙ КОНСПЕКТ: Противоположные утверждения. Доказательство от противного Взаимно противоположные утверждения У некоторых людей логика немного хромает: они иногда…

НАПИСАТЬ КРАТКИЙ КОНСПЕКТ: Противоположные утверждения. Доказательство от противного Взаимно противоположные утверждения У некоторых людей логика немного хромает: они иногда путаются в посылках и следствиях. Рассмотрим два примера бытовой и математический. ПРИМЕР 1. Вспомним правило из примера про лифты (п. 24 с. 99). Предполо жим, что в городе построены два новых здания. В одном 12 этажей, а в другом 3 этажа. В обоих установлены лифты. Нарушено ли правило? Правило не нарушено. Ведь не сказано, что в зданиях, где не больше 5 этажей, не должно быть лифтов. Чтобы разобраться, воспользуемся схемой со стрелками. Пусть утверждение A «В здании больше, чем 5 этажей», а утверждение В «В этом здании должен быть лифт». Тогда правило можно записать схематически А- В. Утверждение «Если в здании не больше, чем 5 этажей, то в этом здании не должно быть лифтов» имеет схему не А не В. И если первое утверждение является истинным высказы ванием, то про второе этого сказать нельзя. Не запрещено устанавливать лифты в малоэтажных зданиях. Утверждения А Ви не А не В называют противоположными друг другу. Рассмотрим другой пример.ПРИМЕР 2. Мы знаем, что если натуральное число оканчивается цифрой 2, то это число чётное. Сформулируем это в виде условного утверждения: «Если натуральное число оканчивается цифрой 2, то это числе чётное». Будет ли истинным утверждение, которое получится, если обе части заменить их отрицаниями: «Если натуральное число не оканчивается цифрой 2, то это число нечётное». Чтобы это опровергнуть, достаточно примера. Число 4 не оканчивается цифрой 2, но оно всё равно чётное. Посылка «Число не оканчивается цифрой 2 истинна, а следствие «Число нечётное» ложно. Налицо попытка вывести из истины ложь. Ут- верждение ложно. Если из утверждения А следует утверждение В, то это не означает, что из ут- верждения не А следует утверждение не В. Доказательство от противного Предположим, что мы знаем, что утверждение А истинно, и, кроме этого, пусть истинно высказывание А В. Предположим, что утверждение В ложно. Тогда А тоже обязано быть ложным. Но ведь мы знаем, что А истинно! Получается противоречие: утверждение А оказывается одновременно истинным и ложным высказыванием. Следовательно, где-то в наших рассуждениях ошибка. Единственное место, где она может быть, это предположение, будто утвержде ние В ложно. Сформулируем полученную мысль с помощью схем со стрелками. Утверждения А Ви не В не А равносильны, то есть одновременно оба ис- тинны или оба ложны. Поэтому вместо одного можно доказывать другое. На таком рассуждении построено доказательство от противного. Иногда трудно доказать некоторое утверждение. Но если предположить, что оно ложно, и прийти к противоречию, то придётся признать, что всё же утверждение истинно. С доказательствами от противного вы встречались в геометрии. Обычно такое до казательство начинается словами «предположим противное». Пусть нужно доказать некоторое утверждение В. Доказательство состоит из трёх шагов. 1. Сначала делают предположение, что истинно утверждение в D. 2. Затем приходят к противоречию с каким-нибудь истинным высказыванием. . Делают вывод о том, что 3 сделанное предположение ложно, а значит, утвержде ние В истинно. ПРИМЕР 3. Используя метод доказательства от противного, докажем утверждение «В любом треугольнике не более одного прямого угла». Доказательство. 1. Предположим противное, то есть будем считать, что истинно отрицание: «Сущест вует треугольник KLM, в котором два прямых угла и М».2. Обе прямые KL и КМ перпендикулярны прямой LM. Значит, через точку К проведены две различные прямые, пер- пендикулярные одной и той же прямой LM (рис. 44). Это про- тиворечит теореме о том, что через любую точку к данной пря мой можно провести только один перпендикуляр. 3. Следовательно, сделанное предположение неверно, а пото му утверждение. «В любом треугольнике не более одного прямого угла истинно. Ковец доказательства. ПРИМЕР 4. В классе 26 учеников. Докажите, что среди них найдутся трое, у которых день рождения в одном и том же месяце. 90 90 M Доказательство. Предположим, что троих с днём рождения Рисунок 44 в одном месяце нет. Тогда в каждом из 12 месяцев день рожде ния случается не более чем у двоих. Но тогда в классе не больше, чем 12224 человека. А это противоречит истинному высказыванию «В классе 26 человек». Противоречие показывает, что предположение неверно. Значит, найдутся трое, у кого день рождения в одном месяце.