4. На какой высоте h тело притягивается к Земле в п = 4 раза слабее, чем на её поверхности?

Question 1

Задача Задача №1938703

А

Аноним

20 октября 2024 15:43 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2024 15:43

4. На какой высоте h тело притягивается к Земле в п = 4 раза слабее, чем на её поверхности?

Answer

Чтобы определить высоту \( h \), на которой сила притяжения к Земле в 4 раза слабее, чем на её поверхности, можно воспользоваться законом всемирного тяготения.

Сила притяжения \( F \) между телом и Землёй описывается формулой: \[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \] где:

\( G \) — гравитационная постоянная,
\( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тела и Земли соответственно,
\( r \) — расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли, где расстояние от центра Земли равно радиусу Земли \( R \), сила притяжения будет равна: \[ F_0 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2} \]

На высоте \( h \) эта сила будет: \[ F_h = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2} \]

По условию задачи, мы знаем, что \( F_h \) в 4 раза меньше \( F_0 \): \[ F_h = \frac{F_0}{4} \]

Подставим выражения для \( F_0 \) и \( F_h \): \[ \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2} \]

Сократив \( G \cdot m_1 \cdot m_2 \) с обеих сторон, получаем: \[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{4R^2} \]

Обменяем местами дроби: \[ 4R^2 = (R + h)^2 \]

Развивая правую часть уравнения, имеем: \[ 4R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \]

Переносим все в одну сторону: \[ 4R^2 - R^2 = 2Rh + h^2 \] \[ 3R^2 = 2Rh + h^2 \]

Рассматриваем это как квадратное уравнение относительно \( h \): \[ h^2 + 2Rh - 3R^2 = 0 \]

Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2R \), \( c = -3R^2 \): \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3R^2)}}{2 \cdot 1} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 12R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{16R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm 4R}{2} \]

Теперь у нас два возможных решения:

\( h = \frac{2R}{2} = R \)
\( h = \frac{-6R}{2} = -3R \) (это значение физически неприемлемо, так как высота не может быть отрицательной).

Таким образом, высота \( h \), на которой сила притяжения в 4 раза слабее, чем на поверхности Земли, равна: \[ h = R \]

Таким образом, тело будет находиться на высоте, равной радиусу Земли.

Question 2

4. На какой высоте h тело притягивается к Земле в п = 4 раза слабее, чем на её поверхности?

Answer

Чтобы определить высоту \( h \), на которой сила притяжения к Земле в 4 раза слабее, чем на её поверхности, можно воспользоваться законом всемирного тяготения. Сила притяжения \( F \) между телом и Землёй описывается формулой: \[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \] где: - \( G \) — гравитационная постоянная, - \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тела и Земли соответственно, - \( r \) — расстояние от центра Земли до тела. На поверхности Земли, где расстояние от центра Земли равно радиусу Земли \( R \), сила притяжения будет равна: \[ F_0 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2} \] На высоте \( h \) эта сила будет: \[ F_h = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2} \] По условию задачи, мы знаем, что \( F_h \) в 4 раза меньше \( F_0 \): \[ F_h = \frac{F_0}{4} \] Подставим выражения для \( F_0 \) и \( F_h \): \[ \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{(R + h)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{R^2} \] Сократив \( G \cdot m_1 \cdot m_2 \) с обеих сторон, получаем: \[ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{4R^2} \] Обменяем местами дроби: \[ 4R^2 = (R + h)^2 \] Развивая правую часть уравнения, имеем: \[ 4R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \] Переносим все в одну сторону: \[ 4R^2 - R^2 = 2Rh + h^2 \] \[ 3R^2 = 2Rh + h^2 \] Рассматриваем это как квадратное уравнение относительно \( h \): \[ h^2 + 2Rh - 3R^2 = 0 \] Для решения этого уравнения можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 2R \), \( c = -3R^2 \): \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3R^2)}}{2 \cdot 1} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{4R^2 + 12R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm \sqrt{16R^2}}{2} \] \[ h = \frac{-2R \pm 4R}{2} \] Теперь у нас два возможных решения: 1. \( h = \frac{2R}{2} = R \) 2. \( h = \frac{-6R}{2} = -3R \) (это значение физически неприемлемо, так как высота не может быть отрицательной). Таким образом, высота \( h \), на которой сила притяжения в 4 раза слабее, чем на поверхности Земли, равна: \[ h = R \] Таким образом, тело будет находиться на высоте, равной радиусу Земли.