tg75°/1-tg2 75°
Чтобы решить выражение \(\frac{\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}\), сначала найдем \(\tan 75^\circ\).
Значение \(\tan 75^\circ\) можно выразить через известные значения тангенса углов:
\[ \tan 75^\circ = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \]
Зная, что \(\tan 45^\circ = 1\) и \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), подставим эти значения:
\[ \tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} \]
Теперь упростим дробь. Для этого домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[ \tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]
Теперь рассмотрим \(\tan^2 75^\circ\):
\[ \tan^2 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)^2 \]
Далее подставим значение \(\tan 75^\circ\) в исходное выражение:
\[ \frac{\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{1 - \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)^2} \]
Теперь упростим знаменатель:
Сначала найдем \(1 - \tan^2 75^\circ\): \[ 1 - \tan^2 75^\circ = 1 - \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)^2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)^2} \]
Упрощаем выражение для \(1 - \tan^2 75^\circ\): \[ = \frac{(3 - 2\sqrt{3} + 1) - (3 + 2\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)^2} = \frac{-4\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 1)^2} \]
Теперь можем получить итоговое значение:
\[ \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}}{\frac{-4\sqrt{3}}{(\sqrt{3} - 1)^2}} = -\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{4\sqrt{3}} = -\frac{2}{4\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \]
Таким образом, выражение \(\frac{\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}\) равно \(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\).
