log⁴(x+12)+log⁴(x-18)=3
Решим уравнение \( \log_4(x+12) + \log_4(x-18) = 3 \).
Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое говорит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[ \log_4((x+12)(x-18)) = 3 \]
Теперь преобразуем логарифм в экспоненту. Мы знаем, что \( \log_b(a) = c \) эквивалентно \( a = b^c \). В нашем случае это дает:
\[ (x+12)(x-18) = 4^3 \]
Вычислим \( 4^3 \):
\[ 4^3 = 64 \]
Теперь подставим это значение:
\[ (x+12)(x-18) = 64 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 18x + 12x - 216 = 64 \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 - 6x - 216 = 64 \]
Переносим 64 на левую сторону:
\[ x^2 - 6x - 280 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-280) = 36 + 1120 = 1156 \]
Найдем корни уравнения. Корни находятся по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2} \]
Вычислим \( \sqrt{1156} \), что равно 34:
\[ x = \frac{6 \pm 34}{2} \]
Теперь найдем два корня:
- \( x_1 = \frac{40}{2} = 20 \)
- \( x_2 = \frac{-28}{2} = -14 \)
Теперь проверим допустимость корней. У нас есть условия:
- \( x + 12 > 0 \) → \( x > -12 \)
- \( x - 18 > 0 \) → \( x > 18 \)
Таким образом, потенциально допустимо только \( x_1 = 20 \).
Ответ: \( x = 20 \).
