Вариант 3 1. Задает ли указанное правило функцию y = f(x) если: 1) f(x)= sqrt x ,0<x<1,\\ 1 + (x - 1) ^ 2 ,1<x<2,\\ 2,x>2; 2) f(x)= - x ^ 2 ,-2<x<-1\\ x+2,x>-17 В случае…
Вариант 3 1. Задает ли указанное правило функцию y = f(x) если: 1) f(x)= sqrt x ,02; 2) f(x)= - x ^ 2 ,-2-17 В случае положительного ответа: а) найдите область определения функции; 6) вычислите значения функции в точках -1; 0; 10; 1 + sqrt(2) в) постройте график функции; г) найдите промежутки монотонности функции. 2. Исследуйте функцию y = x ^ 2|x ^ 3| + x ^ 4 на четность. 3. y= f(x) - периодическая функция с периодом T = 4 Из- f(x) = 3 - x ^ 2 если - 2 < x < 2 а) Постройте график функции. 6) Найдите нули функции. в) Найдите наибольшее и наименьшее значения функциң. 4. Придумайте пример аналитически заданной функции y = f(x) определенной при всех x > 0 кроме x = 2 5. Известно, что функция y = f(x) возрастает на В. Решите неравенство f(|x - 2|) = f(|x + 4|) 6. Найдите функцию, обратную функции y = - 2 - (x + 1) ^ 2 , x < - 1 . Постройте на одном чертеже графики данной и по- лученной функций.
Давайте разберем каждый из пунктов, начиная с первого варианта.
1. Проверка правил на функции
1) \( f(x) = \sqrt{x}, \, 0 < x < 1; \, 1 + (x - 1)^2, \, 1 < x < 2; \, 2, \, x > 2 \)
a) Область определения функции:
- Для первой части \( \sqrt{x} \): \( x \) должно быть больше 0, то есть \( 0 < x < 1 \).
- Для второй части \( 1 + (x-1)^2 \): подходит \( 1 < x < 2 \).
- Для третьей части: \( x > 2 \) подразумевает, что \( f(x) = 2 \) для всех \( x \) больше 2.
Общая область определения: \( (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty) \).
б) Вычисление значений функции:
- \( f(-1) \) не существует, так как -1 не входит в область определения.
- \( f(0) = \sqrt{0} \) не определено.
- \( f(10) = 2 \).
- \( f(1 + \sqrt{2}) \): так как \( 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 \), значит \( f(1+\sqrt{2}) = 2 \).
в) Построение графика функции:
- Для \( 0 < x < 1 \): график будет частью параболы.
- Для \( 1 < x < 2 \): график будет выглядеть как парабола, смещенная на 1.
- Для \( x > 2 \): горизонтальная прямая на уровне \( y = 2 \).
г) Промежутки монотонности:
- \( f(x) \) возрастает на \( (0, 1) \) и \( (1, 2) \); на \( (2, +\infty) \) функция постоянна.
2) \( f(x) = -x^2, \, -2 < x < -1; \, x + 2, \, x > -1 \)
a) Область определения функции:
- Для первой части: \( -2 < x < -1 \).
- Для второй части: \( x > -1 \).
Общая область определения: \( (-2, -1) \cup (-1, +\infty) \).
б) Вычисление значений функции:
- \( f(-1) \) не существует (не включен в область определения).
- \( f(0) = 0 + 2 = 2 \).
- \( f(10) = 10 + 2 = 12 \).
- \( f(1 + \sqrt{2}) = (1+\sqrt{2}) + 2 = 3 + \sqrt{2} \).
в) Построение графика функции:
- Для \( -2 < x < -1 \): парабола, открытая вниз.
- Для \( x > -1 \): линия с угловым коэффициентом 1, начинающаяся с точки \((-1, 1)\).
г) Промежутки монотонности:
- \( f(x) \) убывает на \( (-2, -1) \).
- \( f(x) \) возрастает на \( (-1, +\infty) \).
2. Исследование функции \( y = x^2 |x^3| + x^4 \) на четность
Чтобы проверить четность функции, необходимо посмотреть, выполняется ли равенство \( f(-x) = f(x) \).
- \( f(-x) = (-x)^2 |-x^3| + (-x)^4 = x^2 |x^3| + x^4 = f(x) \).
Функция четная.
3. Периодическая функция с периодом \( T = 4 \)
a) Построение графика функции: У нас есть \( f(x) = 3 - x^2 \) для \( -2 < x < 2 \). Это парабола, открытая вниз, с вершинкой в точке (0, 3). Для построения периодического графика нужно повторять эту форму каждые 4 единицы по оси \( x \).
б) Нули функции: Решаем уравнение \( 3 - x^2 = 0 \):
- \( x^2 = 3 \), следовательно \( x = \sqrt{3}, -\sqrt{3} \). Периодическая функция будет также иметь нули в точках, соответствующих смещениям на 4.
в) Наибольшее и наименьшее значения функции:
- Наибольшее значение: \( 3 \) (в вершине параболы).
- Наименьшее значение функции будет стремиться к \( -\infty \) (так как парабола продолжается вниз).
4. Пример функции, определенной при всех \( x > 0 \), кроме \( x = 2 \)
Примером такой функции может быть \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \).
5. Неравенство \( f(|x - 2|) = f(|x + 4|) \)
Так как функция \( f \) возрастает, это неравенство будет иметь смысл только тогда, когда \( |x - 2| = |x + 4| \). Решаем это уравнение.
- \( x - 2 = x + 4 \) → нет решений.
- \( x - 2 = - (x + 4) \) → \( 2x = -2 \) → \( x = -1 \).
- Похожие шаги для отрицательных значений.
Изучите все возможные случаи, чтобы получить полное решение.
6. Найдите обратную функцию к \( y = -2 - (x + 1)^2, \, x < -1 \)
Для нахождения обратной функции нужно выразить \( x \) через \( y \):
- \( y = -2 - (x + 1)^2 \) → \( (x + 1)^2 = -2 - y \).
- \( x + 1 = \sqrt{-2 - y} \) (учитывая, что \( y < -2 \)).
- \( x = -1 + \sqrt{-2 - y} \).
Обратная функция \( f^{-1}(y) = -1 + \sqrt{-2 - y} \).
Графики: Построить графики обеих функций на одном чертеже.
Если у вас будут дополнительные вопросы или если потребуется более подробное объяснение по какому-либо из пунктов, не стесняйтесь обращаться!
