В треугольнике ABC известно что AC=9√3см B=60 C=45 Найдите сторону AB треугольника

Question 1

Задача Задача №1940123

А

Аноним

20 октября 2024 17:23 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2024 17:23

В треугольнике ABC известно что AC=9√3см B=60 C=45 Найдите сторону AB треугольника

Answer

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \), где \( AC = 9\sqrt{3} \) см, угол \( B = 60^\circ \) и угол \( C = 45^\circ \), воспользуемся теоремой синусов.

Сначала находим угол \( A \): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. \]

Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла является постоянным: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

Таким образом, записываем соотношение для нашей задачи: \[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}. \]

Подставляем известные значения: \[ \frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{9\sqrt{3}}{\sin 45^\circ}. \]

Сначала вычислим \( \sin 45^\circ \) и \( \sin 75^\circ \): \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \] \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Таким образом, подставим значения: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

Упрощаем правую часть: \[ \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{6}. \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ AB = 9\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \]

Перемножаем и упрощаем: \[ AB = \frac{9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{9(6 + \sqrt{12})}{4} = \frac{54 + 27\sqrt{3}}{4}. \]

Итак, длина стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) составляет: \[ AB = \frac{54 + 27\sqrt{3}}{4} \text{ см}. \]

Question 2

В треугольнике ABC известно что AC=9√3см B=60 C=45 Найдите сторону AB треугольника

Answer

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \), где \( AC = 9\sqrt{3} \) см, угол \( B = 60^\circ \) и угол \( C = 45^\circ \), воспользуемся теоремой синусов. Сначала находим угол \( A \): \[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ. \] Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла является постоянным: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Таким образом, записываем соотношение для нашей задачи: \[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin C}. \] Подставляем известные значения: \[ \frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{9\sqrt{3}}{\sin 45^\circ}. \] Сначала вычислим \( \sin 45^\circ \) и \( \sin 75^\circ \): \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \] \[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \] Таким образом, подставим значения: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \] Упрощаем правую часть: \[ \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{6}. \] Теперь у нас есть уравнение: \[ AB = 9\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. \] Перемножаем и упрощаем: \[ AB = \frac{9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{9(6 + \sqrt{12})}{4} = \frac{54 + 27\sqrt{3}}{4}. \] Итак, длина стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) составляет: \[ AB = \frac{54 + 27\sqrt{3}}{4} \text{ см}. \]