В ромбе ABCD проведены диагонали АС и BD. Угол ABD относится к углу ВАС как 4:5. Найдите все углы ромба: <A, <B, <C, <D.

Пусть угол \( \angle ABD = 4x \) и угол \( \angle VAB = 5x \). В ромбе углы, лежащие на одной прямой, складываются до \( 180^\circ \):

\[ \angle ABD + \angle VAB = 180^\circ \]

Подставим значения:

\[ 4x + 5x = 180^\circ \]

Сложим:

\[ 9x = 180^\circ \]

Разделим обе стороны на 9:

\[ x = 20^\circ \]

Теперь можем найти углы \( \angle ABD \) и \( \angle VAB \):

\[ \angle ABD = 4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \]

\[ \angle VAB = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ \]

В ромбе противоположные углы равны, а смежные углы складываются до \( 180^\circ \). Таким образом, мы можем определить все углы ромба:

\[ \angle A = \angle VAB = 100^\circ \]

\[ \angle B = \angle ABD = 80^\circ \]

\[ \angle C = \angle A = 100^\circ \]

\[ \angle D = \angle B = 80^\circ \]

Итак, углы ромба \( ABCD \) равны:

\[ \angle A = 100^\circ, \quad \angle B = 80^\circ, \quad \angle C = 100^\circ, \quad \angle D = 80^\circ \]