параллелограмме abcd точки m и n лежат на сторонах bc и cd причем bm:mc=3:1.CN:ND=1:2, векторы ab=a. AD=b. 1)Выразить векторы BN и MN через векторы a и b
Чтобы выразить векторы \( \vec{BN} \) и \( \vec{MN} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), начнем с построения координатной системы и определения точек в параллелограмме \( ABCD \).
Зададим векторное представление вершин параллелограмма:
- \( \vec{A} = \vec{0} \)
- \( \vec{B} = \vec{a} \)
- \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \)
- \( \vec{D} = \vec{b} \)
Теперь определим положения точек \( M \) и \( N \) на сторонах \( BC \) и \( CD \) соответственно.
Для точки \( M \) на стороне \( BC \) с отношением \( BM:MC = 3:1 \): \[ \vec{M} = \frac{1}{4} \vec{B} + \frac{3}{4} \vec{C} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} = \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} \]
Для точки \( N \) на стороне \( CD \) с отношением \( CN:ND = 1:2 \): \[ \vec{N} = \frac{2}{3} \vec{C} + \frac{1}{3} \vec{D} = \frac{2}{3} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{b} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b} \]
Теперь можем выразить вектор \( \vec{BN} \): \[ \vec{BN} = \vec{N} - \vec{B} = \left(\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b}\right) - \vec{a} = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b} = -\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b} \]
Теперь рассчитаем вектор \( \vec{MN} \): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b}\right) - \left(\vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}\right) \] Упрощаем: \[ = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \vec{a} + \left(\frac{5}{3} - \frac{3}{4}\right) \vec{b} \] Приведем к общему знаменателю для вектора \( \vec{b} \): \[ \frac{5}{3} = \frac{20}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \] Тогда: \[ = -\frac{1}{3} \vec{a} + \left(\frac{20}{12} - \frac{9}{12}\right) \vec{b} = -\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{11}{12} \vec{b} \]
Таким образом, мы выразили искомые векторы: \[ \vec{BN} = -\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{3} \vec{b} \] \[ \vec{MN} = -\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{11}{12} \vec{b} \]
