y |x-3| + |2x-1|
Чтобы решить уравнение \( y = |x-3| + |2x-1| \), давайте разберёмся с выражениями под модульными знаками.
- Найдем точки, где каждое из выражений в модуле меняет знак. Это происходит, когда:
- \( x - 3 = 0 \) → \( x = 3 \)
- \( 2x - 1 = 0 \) → \( x = \frac{1}{2} \)
Таким образом, у нас есть три критические точки: \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 3 \). Мы разбиваем нашу числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
- \( \left[\frac{1}{2}, 3\right] \)
- \( (3, +\infty) \)
Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов отдельно:
1. Интервал \( (-\infty, \frac{1}{2}) \):
- Здесь \( x - 3 < 0 \) и \( 2x - 1 < 0 \), следовательно: \[ y = -(x - 3) - (2x - 1) = -x + 3 - 2x + 1 = -3x + 4 \]
2. Интервал \( \left[\frac{1}{2}, 3\right] \):
- Здесь \( x - 3 < 0 \) и \( 2x - 1 \geq 0 \), следовательно: \[ y = -(x - 3) + (2x - 1) = -x + 3 + 2x - 1 = x + 2 \]
3. Интервал \( (3, +\infty) \):
- Здесь \( x - 3 \geq 0 \) и \( 2x - 1 \geq 0 \), следовательно: \[ y = (x - 3) + (2x - 1) = x - 3 + 2x - 1 = 3x - 4 \]
Теперь мы можем записать функцию \( y \) в виде кусочной функции:
\[ y = \begin{cases} -3x + 4, & \text{если } x < \frac{1}{2} \\ x + 2, & \text{если } \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \\ 3x - 4, & \text{если } x > 3 \end{cases} \]
Эта функция представляет собой график, состоящий из трёх прямых в заданных интервалах. Чтобы лучше понять поведение этой функции, можно построить её график, включая критические точки и исследуя, где она растёт или убывает.
