Чтобы определить, в каком из предложений союзное слово является частью грамматической основы, необходимо проанализировать каждое предложение.
«Скажи мне, что будет на контрольной.»
В этом предложении союзное слово «что» вводит придаточное предложение «что будет на контрольной». Здесь «что» не является частью грамматической основы, а лишь соединяет части предложения.«Преподаватель прислал задание, которое надо выполнить в течение недели.»
В этом предложении союзное слово «которое» также вводит придаточное предложение «которое надо выполнить в течение недели». Оно не интегрировано в грамматическую основу главного предложения.«Папа решил купить то самое пальто, что так понравилось маме.»
Здесь «что» в предложении связывает часть, описывающую, какое именно пальто, с главным предложением. Однако в данном контексте это слово является частью грамматической основы выражения "то самое пальто".
Таким образом, в третьем предложении «Папа решил купить то самое пальто, что так понравилось маме.» союзное слово «что» действительно является частью грамматической основы.