Кресла на кресельном подъёмнике Розы Хутор пронумерованы последовательно: 1, 2, 3 и т. д. Расстояния между каждыми двумя соседними сиденьями одинаковы. Во время грозы кресельный…
Кресла на кресельном подъёмнике Розы Хутор пронумерованы последовательно: 1, 2, 3 и т. д. Расстояния между каждыми двумя соседними сиденьями одинаковы. Во время грозы кресельный подъёмник остановился, и в этот момент кресло 22 находилось на одной высоте с креслом 59, а кресло 93 — на той же высоте, что и кресло 142. Определите количество кресел на кресельном подъёмнике.
Чтобы решить задачу о креслах на кресельном подъёмнике, давайте обозначим количество кресел за \( N \).
Из условия задачи мы знаем, что кресло 22 находится на одной высоте с креслом 59, а кресло 93 — на той же высоте, что и кресло 142. Это значит, что каждая группа кресел, которые находятся на одной высоте, представляет собой арифметическую прогрессию.
Обозначим расстояние между двумя соседними креслами как \( d \). Мы можем записать выражения для высоты кресел:
Для кресел 22 и 59: \[ h_{22} = h_{59} \] Можно записать: \[ h_{22} = a + (22 - 1) \cdot d \] \[ h_{59} = a + (59 - 1) \cdot d \]
Отсюда следует: \[ a + 21d = a + 58d \] Упрощая, получаем: \[ 21d = 58d \] Это означает, что разность между креслами 22 и 59, или количество кресел между ними, равно \( 58 - 21 = 37 \). Следовательно, номера кресел, которые находятся на одной высоте, различаются на 37.
Теперь рассмотрим кресла 93 и 142: \[ h_{93} = h_{142} \] Аналогично, можно записать: \[ h_{93} = a + (93 - 1) \cdot d \] \[ h_{142} = a + (142 - 1) \cdot d \]
Таким образом, получаем: \[ a + 92d = a + 141d \] Упрощая, мы имеем: \[ 92d = 141d \] Это значит, что разность между креслами 93 и 142, или количество кресел между ними, составляет \( 141 - 92 = 49 \).
Теперь у нас есть два уравнения:
- Разность высот между креслом 22 и креслом 59 равна 37.
- Разность высот между креслом 93 и креслом 142 равна 49.
Это означает, что каждые 37 или 49 кресел, высоты будут повторяться. Далее можно составить систему для нахождения числа кресел \( N \).
Поскольку \( N \) должно соответствовать обоим условиям, будем говорить, что \( N \) должно быть кратно 37 и 49. Самое маленькое общее кратное (НОК) этих двух чисел даст максимальное количество кресел.
Для нахождения НОК:
- \( 37 \) и \( 49 \) являются взаимно простыми, следовательно, НОК равен \( 37 \times 49 = 1813 \).
Таким образом, количество кресел на кресельном подъёмнике составляет \( N = 1813 \).
