Определите монотонность функции y=x^3+1

Чтобы определить монотонность функции \( y = x^3 + 1 \), нужно найти её производную и изучить знак этой производной.

1. Находим производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 1) = 3x^2 \]

2. Анализируем знак производной:

   • \( 3x^2 \) всегда больше или равно нулю, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
   • Конкретно, \( 3x^2 = 0 \) только при \( x = 0 \); для всех остальных значений \( x \), производная положительна.

3. Выводы:

   • Если \( x < 0 \), то \( y' > 0 \): функция возрастает.
   • Если \( x = 0 \), то \( y' = 0 \): это точка минимума.
   • Если \( x > 0 \), то \( y' > 0 \): функция также возрастает.

Таким образом, функция \( y = x^3 + 1 \) монотонно возрастает на интервале \( (-\infty, +\infty) \), и только в точке \( x = 0 \) она имеет точку экстремума (минимум).