Для z найти модуль и аргумент записать число в тригонометрической форме Z=-2+2i
Чтобы найти модуль и аргумент комплексного числа \( z = -2 + 2i \), а затем записать его в тригонометрической форме, выполните следующие шаги:
Найдем модуль \( |z| \): Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( a = -2 \) и \( b = 2 \). Подставим значения: \[ |z| = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Найдем аргумент \( \varphi \): Аргумент комплексного числа определяется как: \[ \varphi = \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)} \] В данном случае: \[ \varphi = \arctan{\left(\frac{2}{-2}\right)} = \arctan(-1) \] Аргумент \( -1 \) находится в диапазоне от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \). Однако, поскольку \( z \) находится во втором квадранте (где \( a < 0 \) и \( b > 0 \)), аргумент будет равен: \[ \varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]
Запишем число в тригонометрической форме: Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как: \[ z = |z| \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \] Подставим найденные значения: \[ z = 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) \]
Таким образом, тригонометрическая форма числа \( z = -2 + 2i \) выглядит следующим образом: \[ z = 2\sqrt{2} \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right) \]
Если имеются дополнительные вопросы или нужна помощь по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
