Решить задачу Коши для дифуравнения: y" = sin.x,если у=0 и у'=2 при х=0.
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка \( y'' = \sin x \) с начальными условиями \( y(0) = 0 \) и \( y'(0) = 2 \).
Найдем общее решение дифференциального уравнения. Мы можем найти общее решение, интегрируя дважды. Начнем с решения \( y'' = \sin x \).
Интегрируем по \( x \): \[ y' = -\cos x + C_1 \] где \( C_1 \) – произвольная константа.
Интегрируем снова: \[ y = -\sin x + C_1 x + C_2 \] где \( C_2 \) – еще одна произвольная константа.
Таким образом, общее решение выглядит как: \[ y = -\sin x + C_1 x + C_2 \]
Используем начальные условия для нахождения констант. Подставим начальные условия в общее решение.
Первое начальное условие: \( y(0) = 0 \) \[ y(0) = -\sin(0) + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0 \]
Теперь у нас есть упрощенное решение: \[ y = -\sin x + C_1 x \]
Второе начальное условие: \( y'(0) = 2 \) Находим производную функции: \[ y' = -\cos x + C_1 \] Подставим \( x = 0 \): \[ y'(0) = -\cos(0) + C_1 = 2 \implies -1 + C_1 = 2 \implies C_1 = 3 \]
Запишем окончательное решение. Теперь подставим найденные значения констант \( C_1 \) и \( C_2 \) в общее решение: \[ y = -\sin x + 3x \]
Таким образом, решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения: \[ y(x) = -\sin x + 3x. \]
