Найти общее решение линейного однородного дифуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: у"—4у'+ 20у=0

Чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как \( y'' - 4y' + 20y = 0 \), мы можем воспользоваться характеристическим уравнением.

1. Запишем характеристическое уравнение. Для данного уравнения характеристическое уравнение имеет вид: \[ r^2 - 4r + 20 = 0 \]

2. Найдем корни характеристического уравнения. Чтобы найти корни, используем формулу для вычисления: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 20 \).

Подставим значения: \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{2} \]

3. Упростим результат. Поскольку подкоренное выражение отрицательное, решим его: \[ \sqrt{-64} = 8i \] Таким образом, корни будут: \[ r = \frac{4 \pm 8i}{2} = 2 \pm 4i \]

4. Запишем общее решение. Общее решение может быть записано в виде: \[ y(t) = e^{\text{Re}(r) t} \left( C_1 \cos(\text{Im}(r) t) + C_2 \sin(\text{Im}(r) t) \right) \]

Где \( \text{Re}(r) = 2 \) и \( \text{Im}(r) = 4 \). Подставляя это, получаем: \[ y(t) = e^{2t} (C_1 \cos(4t) + C_2 \sin(4t)) \]

5. Заключение. Таким образом, общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит так: \[ y(t) = e^{2t} (C_1 \cos(4t) + C_2 \sin(4t)), \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями.