Разложите по формуле бинома Ньютона (1+2х)⁵

Чтобы разложить выражение \((1 + 2x)^5\) по формуле бинома Ньютона, используем следующую формулу:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

Где:

• \(a = 1\),
• \(b = 2x\),
• \(n = 5\),
• \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент.

Теперь подставим значения в формулу. Мы будем вычислять каждый член суммы для \(k\) от 0 до 5:

\[ (1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (1)^{5-k} (2x)^k \]

Теперь рассчитаем каждый член:

1. Для \(k = 0\): \[ \binom{5}{0} \cdot 1^{5} \cdot (2x)^0 = 1 \]

2. Для \(k = 1\): \[ \binom{5}{1} \cdot 1^{4} \cdot (2x)^1 = 5 \cdot 2x = 10x \]

3. Для \(k = 2\): \[ \binom{5}{2} \cdot 1^{3} \cdot (2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 \]

4. Для \(k = 3\): \[ \binom{5}{3} \cdot 1^{2} \cdot (2x)^3 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \]

5. Для \(k = 4\): \[ \binom{5}{4} \cdot 1^{1} \cdot (2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 \]

6. Для \(k = 5\): \[ \binom{5}{5} \cdot 1^{0} \cdot (2x)^5 = 1 \cdot 32x^5 = 32x^5 \]

Теперь мы можем объединить все найденные члены в сумме:

\[ (1 + 2x)^5 = 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5 \]

Таким образом, итоговое разложение будет:

\[ (1 + 2x)^5 = 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5 \]

Это результат разложения по формуле бинома Ньютона! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать.