Решите задачу с помощью системы уравнений. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 15 см, а периметр этого треугольника равен 36 см.
Для решения этой задачи обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). В соответствии с условиями задачи, мы имеем следующие уравнения:
Уравнение для гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \]
Уравнение для периметра треугольника: \[ a + b + 15 = 36 \]
Из второго уравнения можно выразить \( a + b \): \[ a + b = 36 - 15 = 21 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a^2 + b^2 = 225 \)
- \( a + b = 21 \)
Теперь из второго уравнения выразим \( b \): \[ b = 21 - a \]
Подставим это выражение для \( b \) в первое уравнение: \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 441 = 225 \] \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \]
Теперь упростим это уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 3}{2} \]
Таким образом, корни: \[ a_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad a_2 = \frac{18}{2} = 9 \]
Теперь подставим \( a \) обратно в уравнение для \( b \):
- Для \( a = 12 \): \[ b = 21 - 12 = 9 \]
- Для \( a = 9 \): \[ b = 21 - 9 = 12 \]
Таким образом, у нас есть катеты \( a = 12 \) см и \( b = 9 \) см.
Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = \frac{108}{2} = 54 \text{ см}^2 \]
Ответ: площадь треугольника равна 54 см².
