Решить задачу с помощью системы уравнений: Один рабочий может выполнить некоторое задание на 6 часов быстрее, чем второй рабочий. Если же они будут работать совместно, то за 2…

Давайте решим эту задачу с помощью системы уравнений.

Обозначим:

• \( x \) — время, которое первый рабочий затратит на выполнение задания отдельно (в часах).
• \( y \) — время, которое второй рабочий затратит на выполнение задания отдельно (в часах).

Согласно условию, первый рабочий выполняет задание на 6 часов быстрее, чем второй. Это можно записать как:

\[ x = y - 6 \]

Следующее условие гласит, что если оба работника будут работать вместе, за 2 часа они выполнит половину задания. Это говорит нам о том, что их производительность совместной работы за 2 часа соответствует половине задания.

Производительность первого рабочего — \( \frac{1}{x} \) заданий в час, а производительность второго рабочего — \( \frac{1}{y} \) заданий в час. Совместная производительность:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \]

За 2 часа они выполняют половину задания, что можно выразить так:

\[ 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{1}{2} \]

Упрощаем уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \]

Теперь подставим \( x = y - 6 \) в это уравнение:

\[ \frac{1}{y - 6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \]

Для решения этого уравнения, найдём общий знаменатель:

\[ \frac{y + (y - 6)}{(y - 6)y} = \frac{1}{4} \]

Упрощаем числитель:

\[ \frac{2y - 6}{(y - 6)y} = \frac{1}{4} \]

Теперь умножим обе стороны на \( 4(y - 6)y \) для устранения дробей:

\[ 4(2y - 6) = (y - 6)y \]

Раскроем скобки:

\[ 8y - 24 = y^2 - 6y \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 0 = y^2 - 14y + 24 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]

Теперь найдём корни:

\[ y = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{14 \pm 10}{2} \]

Первый корень:

\[ y_1 = \frac{24}{2} = 12 \]

Второй корень:

\[ y_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Поскольку время не может быть отрицательным и не может быть меньше, чем 6 часов для первого рабочего, выбираем \( y = 12 \).

Теперь найдем \( x \):

\[ x = y - 6 = 12 - 6 = 6 \]

Таким образом, первый рабочий способен выполнить задание за 6 часов, а второй — за 12 часов.

Ответ: Первый рабочий выполняет задание за 6 часов, второй — за 12 часов.