А(1;0;2) и b(7;5;4) 1) найдите координаты вектора а+b 2) найдите координаты вектора 2а+3b 3) найдите длины вектора а и b 4) найдите столярное произведение вектора а и b 5) найдите косинус между векторами

Для решения всех пунктов задачи, давайте представим векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) в виде координат:

\[ \mathbf{a} = (1, 0, 2), \quad \mathbf{b} = (7, 5, 4) \]

1. Найдем координаты вектора \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (1 + 7, 0 + 5, 2 + 4) = (8, 5, 6) \]

2. Найдем координаты вектора \( 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} \):

\[ 2\mathbf{a} = 2(1, 0, 2) = (2, 0, 4) \] \[ 3\mathbf{b} = 3(7, 5, 4) = (21, 15, 12) \] \[ 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} = (2 + 21, 0 + 15, 4 + 12) = (23, 15, 16) \]

3. Найдем длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

Длина вектора \( \mathbf{a} \):

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5} \]

Длина вектора \( \mathbf{b} \):

\[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{7^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 25 + 16} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \]

4. Найдем скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 7 + 0 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 7 + 0 + 8 = 15 \]

5. Найдем косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) с использованием формулы:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \] Подставим значения:

\[ \cos \theta = \frac{15}{\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{10}} = \frac{15}{3\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, мы успешно выполнили все пункты задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!