-ײ+10×-16>0

Чтобы решить неравенство \(-x^2 + 10x - 16 > 0\), начнем с преобразования его в стандартный вид.

1. Умножим обе стороны неравенства на \(-1\). При этом неравенство поменяет направление: \[ x^2 - 10x + 16 < 0. \]

2. Теперь нужно найти корни квадратного уравнения \(x^2 - 10x + 16 = 0\). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36. \]

3. Корни уравнения находим по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 6}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 6}{2} = 2. \]

4. Теперь у нас есть корни \(x_1 = 8\) и \(x_2 = 2\). Неравенство \(x^2 - 10x + 16 < 0\) меняет знак в этих точках. Это значит, что нам нужно определить знаки на промежутках \( (-\infty, 2), (2, 8), (8, +\infty) \).

5. Проверяем знак на каждом промежутке:

   • Для \(x < 2\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 10\cdot0 + 16 = 16 > 0\).
   • Для \(2 < x < 8\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 10\cdot5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 < 0\).
   • Для \(x > 8\) (например, \(x = 9\)): \(9^2 - 10\cdot9 + 16 = 81 - 90 + 16 = 7 > 0\).

6. Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( (2, 8) \).

В итоге, решение неравенства \(-x^2 + 10x - 16 > 0\) — это интервал: \[ x \in (2, 8). \]