Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Для решения этой задачи давайте обозначим скорости бегунов. Пусть скорость первого бегуна равна \( v_1 \) км/ч, а скорость второго бегуна — \( v_2 \) км/ч. Из условия нам известно, что \( v_1 = v_2 - 5 \) км/ч.

Предположим, что длина круговой трассы равна \( L \) км. По условиям задачи, первый бегун смог пробежать \( L - 2 \) км за один час, поэтому мы имеем:

\[ L - 2 = v_1 \]

Таким образом, для времени, потребовавшегося второму бегуну на один круг, можно записать:

\[ L = v_2 \cdot t_2 \]

где \( t_2 \) — время, затраченное вторым бегуном на первый круг. Учитывая, что второй бегун уже пробежал круг 9 минут назад, он бежал первый круг на 9 минут (или 0.15 часа) больше, чем первый бегун. В первом круге первый бегун затратил 1 час, значит:

\[ t_2 = 1 + 0.15 = 1.15 \text{ ч} \]

Таким образом, можем записать уравнение:

\[ L = v_2 \cdot 1.15 \]

Теперь подставим значение \( L \) из первого уравнения в это уравнение. У нас есть два выражения для \( L \):

\[ L - 2 = v_1 \quad \text{и} \quad L = v_2 \cdot 1.15 \]

Подставим \( v_1 \) из первого уравнения во второе:

\[ v_2 \cdot 1.15 = v_1 + 2 \]

Заменив \( v_1 \) на \( v_2 - 5 \):

\[ v_2 \cdot 1.15 = (v_2 - 5) + 2 \]

Упростим:

\[ v_2 \cdot 1.15 = v_2 - 3 \]

Теперь переходим к решению уравнения:

\[ 1.15v_2 - v_2 = -3 \]

\[ 0.15v_2 = -3 \]

Умножим обе стороны на \(-1\):

\[ 0.15v_2 = 3 \]

И делим обе стороны на 0.15:

\[ v_2 = \frac{3}{0.15} = 20 \text{ км/ч} \]

Теперь найдем скорость первого бегуна \( v_1 \):

\[ v_1 = v_2 - 5 = 20 - 5 = 15 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 15 км/ч.