1 Объясните, каким фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? 2 Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие…
1 Объясните, каким фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? 2 Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. 3 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. 4 Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины. 5 Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника? 6 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником? 7 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 8 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 9 Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма. 10 Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции? 11 Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной? 12 Какой четырехугольник называется прямоугольником? Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 13 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником. 14 Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 15 Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата. 16 Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой? 17 Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой? 18 Какие две точки называются симметричными относительно данной точки? 19 Какая фигура называется симметричной относительно данной точки? 20 Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией: б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
Ответы на вопросы:
Многоугольник — это геометрическая фигура, состоящая из конечного числа соединённых отрезков, формирующих замкнутую линию. Вершины — это точки, в которых соединяются стороны. Стороны — это отрезки, соединяющие вершины. Диагонали — это отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника. Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, в котором все углы меньше 180 градусов и все его диагонали лежат внутри фигуры. Углы, названные углами выпуклого многоугольника, — это внутренние углы, образованные соседними сторонами.
Формула для вычисления суммы углов выпуклого \( n \)-угольника: \[ S = (n - 2) \times 180^\circ \] где \( n \) — количество сторон.
Начертим четырехугольник \( ABCD \).
- Диагонали: \( AC \) и \( BD \).
- Противоположные стороны: \( AB \) и \( CD \), \( AD \) и \( BC \).
- Противоположные вершины: \( A \) и \( C \), \( B \) и \( D \).
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам (по формуле: \( S = (4 - 2) \times 180^\circ = 360^\circ \)).
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого каждая пара противоположных сторон параллельна. Да, параллелограмм является выпуклым четырехугольником, так как его углы меньше 180 градусов.
В параллелограмме:
- Противоположные стороны равны (доказать, что \( AB = CD \) и \( AD = BC \)).
- Противоположные углы равны (доказать, что \( \angle A = \angle C \) и \( \angle B = \angle D \)).
Для доказательства, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, проведите диагонали \( AC \) и \( BD \); обозначьте точку пересечения как \( O \). Показать, что треугольники \( AOB \) и \( COD \) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).
Признаки параллелограмма:
- Если обе пары противоположных сторон равны, то четырехугольник — параллелограмм.
- Если одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырехугольник — параллелограмм.
- Если диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, то это параллелограмм.
Трапеция — четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями, а остальные стороны — боковыми.
Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция — трапеция, в которой один из углов прямой.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (90 градусов). Чтобы доказать, что диагонали прямоугольника равны, воспользуйтесь тем, что в прямоугольнике формируются два равных треугольника при проведении диагоналей.
В параллелограмме, если диагонали равны, то можно показать, что треугольники, образованные этими диагоналями, равны, что ведётся к равенству углов. Следовательно, все углы равны и составляют 90 градусов.
Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Чтобы доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, покажите, что они делятся на равные части и образуют два равнобедренных треугольника.
Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Основные свойства квадрата:
- Все углы по 90°.
- Стороны равны.
- Диагонали равны, пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Две точки называются симметричными относительно данной прямой, если они находятся на равном расстоянии от этой прямой и лежат на одной линии, перпендикулярной к данной прямой.
Фигура называется симметричной относительно данной прямой, если для каждой её точки существует другая точка, симметричная ей относительно этой прямой.
Две точки называются симметричными относительно данной точки, если они находятся на одной прямой, проходящей через эту точку, и находятся на равном расстоянии от неё.
Фигура называется симметричной относительно данной точки, если для каждой её точки существует другая, симметричная ей относительно этой точки.
Примеры фигур:
- а) Осевая симметрия: квадрат, прямоугольник, треугольник.
- б) Центральная симметрия: круг, ромб, квадрат.
- в) Осевая и центральная симметрия: квадрат, круг, ромб.
