Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Question 1

Задача Задача №1944946

А

Аноним

21 октября 2024 06:31 · публичный вопрос

А

Аноним 21 октября 2024 06:31

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Answer

Чтобы найти ёмкость конденсатора в колебательном контуре, мы можем воспользоваться формулой, связывающей максимальное напряжение на конденсаторе, индуктивность катушки и максимальное значение тока:

Сначала найдем энергетические выражения для максимального тока (I_max) и максимального напряжения (U_max): \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot Z \] где Z — полное сопротивление цепи.
В колебательном контуре полное сопротивление можно выразить через индуктивность и ёмкость, используя формулу резонансной частоты (ω) и импеданса: \[ Z = \sqrt{\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2 + (L \omega)^2} \]
Однако для достижения решения проще рассмотреть, что в резонансном состоянии для колебательного контура выполняется равенство: \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot X_L \] где \(X_L = \omega L\) — реактивное сопротивление индуктивности.
На резонансной частоте \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \), следовательно, можем выразить: \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L \]
Подставим известные значения:
- \(L = 50 \, \mu H = 50 \times 10^{-6} H\)
- \(I_{\text{max}} = 40 \, mA = 40 \times 10^{-3} A\)
- \(U_{\text{max}} = 200 \, V\)
Подставляем в уравнение: \[ 200 = 40 \times 10^{-3} \cdot \frac{1}{\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}} \cdot (50 \times 10^{-6}) \] Упростим: \[ 200 = 40 \times 10^{-3} \cdot \frac{50 \times 10^{-6}}{\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}} \]
Решим это уравнение для \(C\): \[ 200 \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = 40 \times 10^{-3} \cdot 50 \times 10^{-6} \] \[ 200 \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = 2 \times 10^{-3} \]
Отделим \(\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}\): \[ \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = \frac{2 \times 10^{-3}}{200} = 1 \times 10^{-5} \] Квадратируем обе стороны: \[ 50 \times 10^{-6} \cdot C = (1 \times 10^{-5})^2 \] \[ 50 \times 10^{-6} \cdot C = 1 \times 10^{-10} \] \[ C = \frac{1 \times 10^{-10}}{50 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-6} F \]
Преобразуем в пФ: \[ C = 2 \times 10^{-6} F = 2000 \, pF \]

Таким образом, ёмкость конденсатора составляет 2000 пФ.

Question 2

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 50 мкГн и конденсатора. Максимальное значение силы тока на катушке равно 40 мА, а максимальное напряжение на конденсаторе 200 В. Чему равна ёмкость конденсатора в пФ?

Answer

Чтобы найти ёмкость конденсатора в колебательном контуре, мы можем воспользоваться формулой, связывающей максимальное напряжение на конденсаторе, индуктивность катушки и максимальное значение тока: 1. Сначала найдем энергетические выражения для максимального тока (I_max) и максимального напряжения (U_max): \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot Z \] где Z — полное сопротивление цепи. 2. В колебательном контуре полное сопротивление можно выразить через индуктивность и ёмкость, используя формулу резонансной частоты (ω) и импеданса: \[ Z = \sqrt{\left(\frac{1}{\omega C}\right)^2 + (L \omega)^2} \] 3. Однако для достижения решения проще рассмотреть, что в резонансном состоянии для колебательного контура выполняется равенство: \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot X_L \] где \(X_L = \omega L\) — реактивное сопротивление индуктивности. 4. На резонансной частоте \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \), следовательно, можем выразить: \[ U_{\text{max}} = I_{\text{max}} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L \] 5. Подставим известные значения: - \(L = 50 \, \mu H = 50 \times 10^{-6} H\) - \(I_{\text{max}} = 40 \, mA = 40 \times 10^{-3} A\) - \(U_{\text{max}} = 200 \, V\) 6. Подставляем в уравнение: \[ 200 = 40 \times 10^{-3} \cdot \frac{1}{\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}} \cdot (50 \times 10^{-6}) \] Упростим: \[ 200 = 40 \times 10^{-3} \cdot \frac{50 \times 10^{-6}}{\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}} \] 7. Решим это уравнение для \(C\): \[ 200 \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = 40 \times 10^{-3} \cdot 50 \times 10^{-6} \] \[ 200 \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = 2 \times 10^{-3} \] 8. Отделим \(\sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C}\): \[ \sqrt{50 \times 10^{-6} \cdot C} = \frac{2 \times 10^{-3}}{200} = 1 \times 10^{-5} \] Квадратируем обе стороны: \[ 50 \times 10^{-6} \cdot C = (1 \times 10^{-5})^2 \] \[ 50 \times 10^{-6} \cdot C = 1 \times 10^{-10} \] \[ C = \frac{1 \times 10^{-10}}{50 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^{-6} F \] 9. Преобразуем в пФ: \[ C = 2 \times 10^{-6} F = 2000 \, pF \] Таким образом, ёмкость конденсатора составляет 2000 пФ.