Найдите квадрат модуля веторного произведения векторов а=(3,-2,1) и b=(-1,4,2)

Для нахождения квадрата модуля векторного произведения двух векторов, следует сначала вычислить само векторное произведение, а затем найти его модуль.

Даны два вектора: \[ \mathbf{a} = (3, -2, 1) \] \[ \mathbf{b} = (-1, 4, 2) \]

Векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) можно вычислить с помощью детерминанта матрицы:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} \]

Вычисляем этот детерминант:

1. Умножаем на \(\mathbf{i}\):

\[ \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 4) = \mathbf{i}(-4 - 4) = -8\mathbf{i} \]

2. Умножаем на \(-\mathbf{j}\):

\[ -\mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -\mathbf{j}(3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -\mathbf{j}(6 + 1) = -7\mathbf{j} \]

3. Умножаем на \(\mathbf{k}\):

\[ \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{k}(3 \cdot 4 - (-2) \cdot (-1)) = \mathbf{k}(12 - 2) = 10\mathbf{k} \]

Теперь собираем все части вместе:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -8\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 10\mathbf{k} \]

Итак, векторное произведение \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-8, 7, 10)\).

Теперь находим модуль этого вектора:

\[ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{(-8)^2 + 7^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 49 + 100} = \sqrt{213} \]

Теперь, чтобы найти квадрат модуля векторного произведения, нужно возвести это значение в квадрат:

\[ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = 213 \]

Таким образом, квадрат модуля векторного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен 213.