Постройте график функции и перечислите их свойства у=3-2х-х^2 х€ [-4;2]
Чтобы построить график функции \( y = 3 - 2x - x^2 \) и перечислить её свойства, начнем с анализа данной функции.
Определение функции: Мы имеем квадратичную функцию вида \( y = ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = -1 \) (коэффициент перед \( x^2 \)),
- \( b = -2 \),
- \( c = 3 \).
Форма графика: Поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a < 0 \)), график функции будет параболой, направленной вниз.
Вершина параболы: Вершина параболы (максимум, так как парабола направлена вниз) находится по формуле: \[ x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1. \] Подставим найденное значение \( x \) для нахождения \( y \) вершины: \[ y_{\text{верш}} = 3 - 2(1) - (1)^2 = 3 - 2 - 1 = 0. \] Таким образом, вершина имеет координаты \( (1, 0) \).
Нахождение корней: Чтобы найти корни функции, решим уравнение \( 3 - 2x - x^2 = 0 \): \[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0. \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16. \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = -3, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = 1. \]
Свойства функции:
- Область определения: \( x \in [-4, 2] \).
- Корни: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 1 \).
- Вершина: \( (1, 0) \).
- На интервале \( [-4, 2] \) функция принимает максимальное значение (в вершине) 0 и уходит на отрицательные значения по краям интервала.
- Значения функции при краевых точках: \[ y(-4) = 3 - 2(-4) - (-4)^2 = 3 + 8 - 16 = -5, \] \[ y(2) = 3 - 2(2) - (2)^2 = 3 - 4 - 4 = -5. \]
Построение графика: Теперь, имея все вышеперечисленные данные, вы можете построить график функции, отметив корни, вершину и значения на краях интервала.
График функции будет выглядеть как парабола, проходящая через точки \((-3, 0)\), \((1, 0)\) и опускающаяся до значений около \(-5\) на краях интервала \( [-4, 2] \).
Если вам нужна помощь с построением графика или дальнейшим анализом, дайте знать!
