Выберите верные утверждения: а) площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними б) косинус в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе в) косинус острого угла меньше нуля г) отношение стороны треугольника к синус противолежащегоугла равно радиусу описанной окружности

Давайте рассмотрим каждое из утверждений, чтобы выбрать верные.

а) Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.
Это утверждение верно. Формула для вычисления площади треугольника \(S = \frac{1}{2}ab \sin(C)\), где \(a\) и \(b\) — длины двух сторон, а \(C\) — угол между этими сторонами.

б) Косинус в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Это тоже верное утверждение. Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как \( \cos(A) = \frac{a}{c} \), где \(a\) — длина прилежащего катета, а \(c\) — длина гипотенузы.

в) Косинус острого угла меньше нуля.
Это утверждение неверно. Косинус острых углов (от 0 до 90 градусов) всегда больше нуля. Он становится нулем в 90 градусах и отрицательным в углах, превышающих 90 градусов.

г) Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно радиусу описанной окружности.
Это утверждение верно и выражается формулой \( \frac{a}{\sin(A)} = 2R \), где \(a\) — сторона треугольника, \(A\) — противолежащий угол, а \(R\) — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Таким образом, верные утверждения:
а), б) и г).