периметр прямоугольного треугольника равен 84 см его гипотенуза равна 37 см найдите площадь этого треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам необходимо знать его основание и высоту. У нас есть периметр и гипотенуза, что позволяет нам начать.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• \( a \) — один катет,
• \( b \) — другой катет,
• \( c \) — гипотенуза (в нашем случае \( c = 37 \) см).

Периметр прямоугольного треугольника можно записать как: \[ P = a + b + c. \] Зная, что периметр равен 84 см, подставим значения: \[ a + b + 37 = 84. \]

Теперь можем выразить сумму катетов: \[ a + b = 84 - 37 = 47. \]

Теперь у нас есть две основные информации:

1. \( a + b = 47 \)
2. \( c = 37 \)

Мы также знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2. \] Подставим \( c = 37 \): \[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369. \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + b = 47 \)
2. \( a^2 + b^2 = 1369. \)

Мы можем выразить \( b \) через \( a \): \[ b = 47 - a. \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369. \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369. \] Соберем подобные члены: \[ 2a^2 - 94a + 2209 - 1369 = 0. \] Упростим: \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0. \]

Разделим все коэффициенты на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0. \]

Можно использовать дискриминант для решения этого квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529. \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm 23}{2}. \]

Находим два возможных значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{70}{2} = 35 \)
2. \( a_2 = \frac{24}{2} = 12 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( b \):

• Если \( a = 35 \), то \( b = 47 - 35 = 12 \).
• Если \( a = 12 \), то \( b = 47 - 12 = 35 \).

Таким образом, стороны треугольника равны \( a = 12 \) см и \( b = 35 \) см.

Теперь можно найти площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210 \text{ см}^2. \]

Ответ: площадь прямоугольного треугольника равна \( 210 \) см².