(x-3)(x+1)>0

Чтобы решить неравенство \((x-3)(x+1) > 0\), начнём с нахождения нулей левой части неравенства. Мы приравняем каждое из множителей к нулю:

1. \(x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3\)
2. \(x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1\)

Теперь мы определили ключевые точки \(x = -1\) и \(x = 3\). Эти точки разбивают числовую прямую на триIntervalа:

1. \((-∞, -1)\)
2. \((-1, 3)\)
3. \((3, +∞)\)

Теперь мы проверим знак произведения \((x-3)(x+1)\) в каждом из этих интервалов.

1. Для интервала \((-∞, -1)\) выберем, например, \(x = -2\): \[ (-2 - 3)(-2 + 1) = (-5)(-1) = 5 > 0 \] Здесь произведение положительно.

2. Для интервала \((-1, 3)\) выберем, скажем, \(x = 0\): \[ (0 - 3)(0 + 1) = (-3)(1) = -3 < 0 \] Здесь произведение отрицательно.

3. Для интервала \((3, +∞)\) выберем \(x = 4\): \[ (4 - 3)(4 + 1) = (1)(5) = 5 > 0 \] Здесь произведение положительно.

Теперь соберём результаты:

• В интервале \((-∞, -1)\) произведение положительно.
• В интервале \((-1, 3)\) произведение отрицательно.
• В интервале \((3, +∞)\) произведение положительно.

Таким образом, неравенство \((x-3)(x+1) > 0\) выполняется в интервалах \( (-∞, -1) \) и \( (3, +∞) \).

Ответ: \( (-∞, -1) \cup (3, +∞) \).