постройте график функции y = - x² - 6x - 9
Чтобы построить график функции \(y = -x^2 - 6x - 9\), давайте следовать нескольким шагам.
Определим параболу: Данная функция является квадратной, так как содержит член \(x^2\). Коэффициент перед \(x^2\) отрицательный (-1), что означает, что парабола будет открыта вниз.
Найдем вершину параболы: Вершина квадратной функции \(y = ax^2 + bx + c\) находится по формуле: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \] В нашей функции \(a = -1\) и \(b = -6\): \[ x_{вершины} = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \] Теперь подставим \(x_{вершины}\) в исходную функцию, чтобы найти \(y_{вершины}\): \[ y_{вершины} = -(-3)^2 - 6(-3) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-3, 0)\).
Найдем пересечения с осями:
Пересечение с осью \(y\): Для этого подставим \(x = 0\): \[ y = -0^2 - 6 \cdot 0 - 9 = -9 \] Точка пересечения с осью \(y\): \((0, -9)\).
Пересечение с осью \(x\): Для этого решим уравнение \(y = 0\): \[ -x^2 - 6x - 9 = 0 \] Умножим уравнение на -1: \[ x^2 + 6x + 9 = 0 \] Это уравнение можно решить как полный квадрат: \[ (x + 3)^2 = 0 \] Таким образом, у нас есть один корень: \(x = -3\). Точка пересечения с осью \(x\): \((-3, 0)\).
Построение графика: Теперь можно начать строить график. Отметьте точки:
- Вершина \((-3, 0)\)
- Пересечение с осью \(y\) \((0, -9)\)
Парабола будет симметрична относительно вертикальной прямой через вершину и будет уходить вниз от этой вершины, поэтому очертите кривую, открывающуюся вниз.
Дополнительные точки: Можно также рассмотреть еще пару значений \(x\), чтобы уточнить форму параболы. Например, подставим \(x = -4\) и \(x = -2\):
- Для \(x = -4\): \[ y = -(-4)^2 - 6(-4) - 9 = -16 + 24 - 9 = -1 \quad \Rightarrow \quad (-4, -1) \]
- Для \(x = -2\): \[ y = -(-2)^2 - 6(-2) - 9 = -4 + 12 - 9 = -1 \quad \Rightarrow \quad (-2, -1) \]
Теперь у вас есть достаточно информации, чтобы построить график функции. Вы можете отметить все полученные точки и провести параболу. Удачи с вашими дальнейшими изучениями математики!
